Đặt A = \(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{2018}{ab+bc+ac}=\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{ab+bc+ac}+\frac{1}{ab+bc+ac}+\frac{2016}{ab+bc+ac}\)
Do a ; b ; c dương , áp dụng BĐT Cô - si cho 3 số dương , ta có :
\(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge3\sqrt[3]{abc}.3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}=9\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}\) => BĐT được c/m
Tiếp tục , áp dụng BĐT Cô - si , ta có :
\(\left(a^2+b^2\right)+\left(b^2+c^2\right)+\left(a^2+c^2\right)\ge2ab+2bc+2ac\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ac\)
\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ac\right)\)
=> BĐT được c/m
Áp dụng các BĐT phụ trên vào bài toán , ta có :
\(A\ge\frac{9}{\left(a+b+c\right)^2}+\frac{2016}{\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}}\)
Vì \(a+b+c\le3\) \(\Rightarrow A\ge\frac{9}{3^2}+\frac{2016}{\frac{3^2}{3}}=1+\frac{2016}{3}=673\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)
