a) ĐKXĐ của phương trình P là: \(\left[{}\begin{matrix}x\ne-3\\x\ne2\end{matrix}\right.\)
b) \(P=\frac{x+2}{x+3}-\frac{5}{x^2+x-6}+\frac{1}{2-x}\) (1)
Khi đó (1) \(\Leftrightarrow\) \(P\) \(=\frac{\left(x+2\right)\left(x-2\right)}{\left(x+3\right)\left(x-2\right)}-\frac{5}{\left(x+3\right)\left(x-2\right)}-\frac{x+3}{\left(x+3\right)\left(x-2\right)}\)
\(=\frac{\left(x+2\right)\left(x-2\right)-5-\left(x+3\right)}{\left(x+3\right)\left(x-2\right)}\) \(=\frac{x^2-4-5-x-3}{\left(x+3\right)\left(x-2\right)}\)
\(=\frac{x^2-x-12}{\left(x+3\right)\left(x-2\right)}\) \(=\frac{\left(x-4\right)\left(x+3\right)}{\left(x+3\right)\left(x-2\right)}=\frac{x-4}{x-2}\) (Vì \(x+3\ne0\))
Mà \(P=\frac{-3}{4}\) nên \(\frac{x-4}{x-2}=-\frac{3}{4}\)
\(\Leftrightarrow4\left(x-4\right)=-3\left(x-2\right)\)
\(\Leftrightarrow4x-16=6-3x\)
\(\Leftrightarrow4x+3x=6+16\)
\(\Leftrightarrow7x=22\) \(\Leftrightarrow x=\frac{22}{7}\) (thỏa mãn ĐKXĐ)
Vậy để \(P=-\frac{3}{4}\) thì \(x=\frac{22}{7}\)
c) Để \(P\) nguyên thì \(\frac{x-4}{x-2}\in Z\) \(\Rightarrow x-4⋮x-2\)
\(\Leftrightarrow x-4-\left(x-2\right)⋮x-2\) (Vì \(\left(x-2\right)⋮x-2\))
\(\Leftrightarrow x-4-x+2⋮x-2\)
\(\Leftrightarrow-2⋮x-2\)
\(\Rightarrow x-2\in\)Ư(\(-2\))\(=\left\{1;-1;2;-2\right\}\)
\(\Leftrightarrow x\in\left\{3;1;4;0\right\}\)
Vậy để \(P\) nguyên thì \(x\in\left\{3;1;4;0\right\}\)
d) Ta có: \(x^2-9=0\Leftrightarrow x^2=9\Leftrightarrow x\in\left\{3;-3\right\}\)
Mà \(P=\frac{x-4}{x-2}\) (2) . Thay \(x=3\) vào (2) ta được:
\(P=\) \(\frac{3-4}{3-2}\) \(=-1\)
Thay \(x=-3\) vào (2) ta được :
\(P=\frac{-3-4}{-3-2}=\frac{7}{5}\)
Vậy giá trị của biểu thức \(P\) khi : \(x=3\) là \(-1\)
: \(x=-3\) là \(\frac{7}{5}\)
