Violympic toán 9

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Nguyễn Hải An

Cho biểu thức : P = \(\dfrac{x^2+2xy+9y^2}{x+3y-2\sqrt{xy}}\)- 2\(\sqrt{xy}\); với x,y > 0

a, Rút gọn P

b, Tìm điều kiện của x,y để biểu thức \(\dfrac{P}{\sqrt{xy}+y}\) đạt GTNN. Tìm GTNN đó

Doan Minh Cuong
12 tháng 5 2018 lúc 19:21

a) \(P=\dfrac{\left(x^2+2xy+9y^2\right)-\left(x+3y-2\sqrt{xy}\right)2\sqrt{xy}}{x+3y-2\sqrt{xy}}\)

\(=\dfrac{\left(x^2+6xy+9y^2\right)-\left(x+3y\right)2\sqrt{xy}}{x+3y-2\sqrt{xy}}\)

\(=\dfrac{\left(x+3y\right)^2-\left(x+3y\right)2\sqrt{xy}}{x+3y-2\sqrt{xy}}\)

\(=\dfrac{\left(x+3y\right)\left(x+3y-2\sqrt{xy}\right)}{x+3y-2\sqrt{xy}}\)

\(P=x+3y\)

b) \(\dfrac{P}{\sqrt{xy}+y}=\dfrac{x+3y}{\sqrt{xy}+y}=\dfrac{\left(x+3y\right):y}{\left(\sqrt{xy}+y\right):y}=\dfrac{\dfrac{x}{y}+3}{\sqrt{\dfrac{x}{y}}+1}\)

Đặt \(t=\sqrt{\dfrac{x}{y}}>0\)\(\dfrac{P}{\sqrt{xy}+y}=Q\) thì \(Q=\dfrac{t^2+3}{t+1}=\dfrac{\left(t-1\right)^2+2\left(t+1\right)}{t+1}=2+\dfrac{\left(t-1\right)^2}{t+1}\ge2\)

\(Q_{min}=2\Leftrightarrow t=1\Leftrightarrow x=y\)


Các câu hỏi tương tự
Hoàng Ngọc Tuyết Nung
Xem chi tiết
dia fic
Xem chi tiết
Đừng gọi tôi là Jung Hae...
Xem chi tiết
Hày Cưi
Xem chi tiết
Lê Thị Ngọc Duyên
Xem chi tiết
Nguyễn Mạnh Cường
Xem chi tiết
Trúc Nguyễn
Xem chi tiết
mai bùi thị
Xem chi tiết
Nguyễn Hà Mi
Xem chi tiết