Question

Cho a,b,c,d là các số dương và \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\). Hãy trục căn thức ở mẫu của biểu thức sau: \(\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}+\sqrt{d}}\)

Answer 1

Đặt \(A=\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}+\sqrt{d}}\)

\(=\frac{\sqrt{a}+\sqrt{d}-\left(\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)}{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}+\sqrt{d}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{d}-\left(\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)\right)}\)

\(=\frac{\sqrt{a}+\sqrt{d}-\sqrt{b}-\sqrt{c}}{\left(\sqrt{a}+\sqrt{d}\right)^2-\left(\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)^2}\)

\(=\frac{\sqrt{a}+\sqrt{d}-\sqrt{b}-\sqrt{c}}{a+2\sqrt{ad}+d-\left(b+2\sqrt{bc}+c\right)}\)

Mà \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\) \(\Rightarrow ad=bc\)

\(\Rightarrow A=\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}-\sqrt{c}+\sqrt{d}}{a+2\sqrt{bc}+d-b-2\sqrt{bc}-c}\)

\(=\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}-\sqrt{c}+\sqrt{d}}{a-b-c+d}\)