Ta có:
1/1+a = (1 - 1/1+b) + (1 - 1/1+c) = b/1+b + c/1+c >= 2.căn bc/(1+b)(1+c) (theo bđt AM-GM)
Tương tự như vậy ta cũng có:
1/1+b >= 2.căn ac/(1+a)(1+c)
1/1+c >= 2.căn ab/(1+a)(1+b)
Vì 2 vế của các bđt đều dương do a;b;c dương nên nhân theo từng vế của bđt ta được:
1/1+a . (1/1+b) . (1+1/c) >= 8.căn(abc)^2/[1+a)(1+b)(1+c)]^2
=> abc <= 1/8
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=1/2
Cho a+b+c=1, \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0\) abc khác 0.Tính A = a2 + b2 + c2
CHO a,b,c > 0 thõa mãn abc=1. Chứng minh rằng \(\frac{1}{a^2+2b^2+3}+\frac{1}{b^2+2c^2+3}+\frac{1}{c^2+2b^2+3}\le\frac{1}{2}\)
cho a,b,c>0 thõa mãn abc=1. CM \(\frac{1}{a^{2016}+b^{2016}+1}+\frac{1}{b^{2016}+c^{2016}+1}+\frac{1}{c^{2016}+a^{2016}+1}\le1\)
Cho a,b,c>0.CM:
\(\frac{a}{b^2}+\frac{b}{c^2}+\frac{c}{a^2}\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)
1. Tìm các số nguyên tố a,b,c sao cho a.b.c=3(a+b+c)
2. Tìm số nguyên tố p sao cho 2p+1 là lập phương của 1 số nguyên tố
3. Cho a,b,c >0 . Cm \(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
cho a,b,c là 3 số hữu tỉ thỏa mãn abc=1 và \(\frac{a}{b^2}+\frac{b}{c^2}+\frac{c}{a^2}=\frac{a^2}{c}+\frac{b^2}{a}+\frac{c^2}{b}\)
Chứng minh rằng ít nhất 1 trong 3 số a,b,c là bình phương của 1 số hữu tỉ
Cho a, b, c > 0 chứng minh rằng:
\(\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}>=2\cdot\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)với \(p=\frac{a+b+c}{2}\)
Bài 1: cho \(a,b,c\ge0\) và a+b+c=1. Chứng minh rằng :
a,\(\left(1-a\right)\cdot\left(1-b\right)\cdot\left(1-c\right)\ge8\cdot a\cdot b\cdot c\)
b,\(16\cdot a\cdot b\cdot c\ge a+b\)
c,\(\frac{a}{1+a}+\frac{2\cdot b}{2+b}+\frac{3\cdot c}{3+c}\le\frac{6}{7}\)
Bài 2: cho a,b,c>0 và a.b.c=0 chứng minh rằng:
\(\frac{b\cdot c}{a^2\cdot b+a^2\cdot c}+\frac{a\cdot c}{b^2\cdot c+b^2\cdot a}+\frac{a\cdot b}{c^2\cdot a+c^2\cdot b}\ge\frac{3}{2}\)
Tìm giá trị biểu thức:
\(M=\frac{b+c}{a}+\frac{a+c}{b}+\frac{a+b}{c}\)
Biết \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0\)
