Chương 4: BẤT ĐẲNG THỨC, BẤT PHƯƠNG TRÌNH

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Cao Thi Thuy Duong

cho a,b,c>0 thỏa x2+y2+z2=1.tìm gtnn của P=\(\frac{x}{y^2+z^2}+\frac{y}{z^2+x^2}+\frac{z}{x^2+y^2}\)

Nguyễn Việt Lâm
12 tháng 10 2019 lúc 1:43

\(P=\frac{x}{1-x^2}+\frac{y}{1-y^2}+\frac{z}{1-z^2}\)

Ta có đánh giá: \(\frac{x}{1-x^2}\ge\frac{3\sqrt{3}}{2}x^2\) \(\forall x\in\left(0;1\right)\)

Thật vậy, BĐT tương đương:

\(2x\ge3\sqrt{3}x^2-3\sqrt{3}x^4\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{3}x-1\right)^2\left(\sqrt{3}x+2\right)\ge0\) (luôn đúng)

Tương tự: \(\frac{y}{1-y^2}\ge\frac{3\sqrt{3}}{2}y^2\) ; \(\frac{z}{1-z^2}\ge\frac{3\sqrt{3}}{2}z^2\)

Cộng vế với vế: \(P\ge\frac{3\sqrt{3}}{2}\left(x^2+y^2+z^2\right)=\frac{3\sqrt{3}}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}\)


Các câu hỏi tương tự
Khánh Nguyễn
Xem chi tiết
Anh Đỗ Nguyễn Thu
Xem chi tiết
Phạm Thị Hằng
Xem chi tiết
Ngọc Ánh
Xem chi tiết
dbrby
Xem chi tiết
dam thu a
Xem chi tiết
Phạm Dương Ngọc Nhi
Xem chi tiết
dbrby
Xem chi tiết
dam thu a
Xem chi tiết