\(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}\ge2\sqrt{\frac{acb^2}{ac}}=2b\) ; \(\frac{ab}{c}+\frac{ca}{b}\ge2a\); \(\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\ge2c\)
Cộng vế với vế:
\(2\left(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\right)\ge2\left(a+b+c\right)\)
\(\Rightarrow\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\ge a+b+c\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
Cho: a,b,c > 0 và a + b + c = 3.
Chứng minh rằng:
a) \(\frac{a+b}{1+a}+\frac{b+c}{1+b}+\frac{c+a}{1+c}\ge ab+bc+ca\)
b) \(\frac{a}{ab+b^3}+\frac{b}{bc+c^3}+\frac{c}{ca+a^3}\ge\frac{3}{2}\)
Cho a,b,c>0 Chứng minh \(\frac{\sqrt{bc}}{a+3\sqrt{bc}}+\frac{\sqrt{ca}}{b+3\sqrt{ca}}+\frac{\sqrt{ab}}{c+3\sqrt{ab}}\le\frac{3}{4}\)
Cho a , b , c > 0 thỏa mãn \(a^2b+b^2c+c^2a=3\)
Chứng minh \(\frac{ab+bc+ca}{2\left(a^2+b^2+c^2\right)}+\frac{1}{6}\left(\frac{a}{bc}+\frac{b}{ca}+\frac{c}{ab}\right)\ge\frac{a+b+c}{3}\)
Cho a,b,c > 0. Chứng minh rằng: \(\frac{a^5}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^5}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^5}{c^2+ca+a^2}\ge\frac{a^3+b^3+c^3}{3}\)
Cho a,b,c>0. Chứng minh rằng:
\(\frac{a^6}{b^3\left(c+a\right)}+\frac{b^6}{c^3\left(a+b\right)}+\frac{c^6}{a^3\left(b+c\right)}\ge\frac{ab+bc+ca}{2}\)
Cho a,b,c>0 và \(a^2b+b^2c+c^2a=3\)
Chứng minh rằng : \(\frac{ab+bc+ca}{2\left(a^2+b^2+c^2\right)}+\frac{1}{6}\left(\frac{a}{bc}+\frac{b}{ac}+\frac{c}{ab}\right)\)≥\(\frac{a+b+c}{3}\)
Cho a,b,c>0 Chứng minh \(\frac{a^3+2}{ab+1}+\frac{b^3+2}{bc+1}+\frac{c^3+2}{ca+1}\ge\frac{9}{2}\)
4.
a) Cho a ≥ 0, b ≥ 0. Chứng minh bất đẳng thức Cauchy : 
b) Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng :
c) Cho a, b > 0 và 3a + 5b = 12. Tìm giá trị lớn nhất của tích P = ab.
Cho a,b,c>0. Cmr: a) \(\frac{ab}{a^2+bc+ca}+\frac{bc}{b^2+ca+ab}+\frac{ca}{c^2+ab+bc}\le\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}\)
b) \(\frac{a}{a^3+b^2+c}+\frac{b}{b^3+c^2+a}+\frac{c}{c^3+a^2+b}\le1\)
