Hmm, không có điều kiện a;b;c dương mà chỉ có \(a+b+c\ge3\) thôi à?
Với a;b;c bất kì thì mình tin chắc rằng biểu thức này ko tồn tại cả max lẫn min
Phải có điều kiện a;b;c dương, khi đó:
Ta có:
\(a^4-a^3-a+1=a^3\left(a-1\right)-\left(a-1\right)=\left(a-1\right)^2\left(a^2+a+1\right)\ge0\)
\(\Rightarrow a^4+1\ge a^3+a\)
Tương tự:
\(b^3-b^2-b+1=\left(b-1\right)^2\left(b+1\right)\ge0\Rightarrow b^3+1\ge b^2+b\)
\(c^2-2c+1=\left(c-1\right)^2\ge0\Rightarrow c^2+1\ge2c\)
Cộng vế với vế:
\(a^4+b^3+c^2+3\ge\left(a^3+b^2+c\right)+\left(a+b+c\right)\ge a^3+b^2+c+3\)
\(\Rightarrow a^4+b^3+c^2\ge a^3+b^2+c\)
\(\Rightarrow\frac{a^3+b^2+c}{a^4+b^3+c^2}\le1\)
\(P_{max}=1\) khi \(a=b=c=1\)
