Question

Cho ∆ABC nhọn (AB < AC). Đường tròn tâm O đường kính BC cắt AB, AC tại M và N. Gọi H là giao điểm của BN và CM.

a) Chứng minh AH ^ BC tại D.

b) Gọi S là trung điểm AH. Chứng minh SN là tiếp tuyến của đường tròn (O).

c) Chứng minh OM là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp ∆AMN.

Answer 1

a, Vì \(\widehat{BMC}=\widehat{BNC}=90^0\) (góc nt chắn nửa đg tròn) nên BN,CM là đường cao tam giác ABC

Do đó H là trực tâm tam giác ABC

Vậy AH là đường cao thứ 3 hay AH⊥BC tại D

b, \(OC=ON\Rightarrow\widehat{ONC}=\widehat{OCN}\)

Mà NE là trung tuyến ứng cạnh huyền tg AHN nên \(NE=EH\)

\(\Rightarrow\widehat{ANE}=\widehat{EAN}\)

\(\Rightarrow\widehat{ANE}+\widehat{ONC}=\widehat{OCN}+\widehat{EAN}=90^0\left(\Delta ADC\perp D\right)\\ \Rightarrow\widehat{ENO}=180^0-\left(\widehat{ANE}+\widehat{ONC}\right)=90^0\\ \Rightarrow EN\perp ON\left(đpcm\right)\)