Question

Cho a,b,c là số thực không âm thỏa mãn a+b+c=1 . Chứng minh rằng 2a+b+c\(\ge\) 4(a+b)(b+c)(c+a)

Answer 1

Lời giải:
Áp dụng BĐT Cauchy (dạng \(xy\leq \left(\frac{x+y}{2}\right)^2\) ) ta có:

\(4(a+b)(c+a)\leq (a+b+c+a)^2=(2a+b+c)^2\)

\(\Rightarrow 4(a+b)(b+c)(c+a)\leq (b+c)(2a+b+c)^2(*)\)

Mà:

\((b+c)(2a+b+c)\leq \left(\frac{b+c+2a+b+c}{2}\right)^2=(a+b+c)^2=1\)

\(\Rightarrow (b+c)(2a+b+c)^2\leq 1.(2a+b+c)=2a+b+c(**)\)

Từ \((*); (**)\Rightarrow 4(a+b)(b+c)(c+a)\leq 2a+b+c\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi \((a,b,c)=(0,0.5,0.5)\)