Chứng minh bất đẳng thức :
\(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ac\)
\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge2\left(ab+bc+ac\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2+a^2-2ac+c^2+b^2-2bc+c^2\ge0\)\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(a-c\right)^2+\left(b-c\right)^2\ge0\)
Đúng với mọi a, b, c
Ta có:
\(\left(a+b+c\right)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc\)\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^2=a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ac\right)\left(1\right)\)\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^2\le a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ac\right)\)\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^2\le3\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{3}=\dfrac{9}{3}=3\) Vậy GTNN của biểu thức là 3
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a=b=c
