Theo BĐT AM-GM:
\(\sqrt{\frac{a}{b+c-a}}=\frac{a}{\sqrt{a\left(b+c-a\right)}}\ge\frac{2a}{b+c}\)
Tương tự 2 BĐT còn lại và cộng theo vế kết hợp BĐT Nesbitt ta thu được:
\(VT\ge2\left(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\right)\ge2.\frac{3}{2}=3\)
Do đẳng thức không xảy ra nên VT >3 (đpcm).
Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác
chứng minh \(\frac{a}{\sqrt[3]{b^3+c^3}}+\frac{b}{\sqrt[3]{c^3+a^3}}+\frac{c}{\sqrt[3]{a^3+b^3}}< 2\sqrt[3]{4}\)
Cho a,b,c là số đo ba cạnh của tam giác . Chứng minh rằng:
\(\frac{\sqrt{a}}{b+c-a}+\frac{\sqrt{b}}{c+a-b}+\frac{\sqrt{c}}{a+b-c}\ge\frac{a+b+c}{\sqrt{abc}}\)
chứng minh bđt sau với mọi a,b,c ko âm
\(\sqrt[3]{\frac{a}{b}}+\sqrt[3]{\frac{b}{a}}\le\sqrt[3]{2\left(a+b\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)}\)
a) cho x,y,z là các số thực dương. . Chứng minh rằng: \(\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}\ge x+\sqrt{yz}\)
b) cho a,b,c là số đo ba cạnh của tam giác. Chứng minh rằng:
\(\frac{\sqrt{a}}{b+c-a}+\frac{\sqrt{b}}{c+a-b}+\frac{\sqrt{c}}{a+b-c}\ge\frac{a+b+c}{\sqrt{abc}}\)
Cho tam giác ABC có diện tích S, các cạnh là a,b,c. Chứng minh: \(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{a-b+c}+\frac{1}{-a+b+c}\ge\frac{3\sqrt[4]{3}}{2\sqrt{S}}\)
cho \(a,b,c>\frac{1}{2}\) và thỏa mãn \(a+b+c=3\).Chứng minh rằng
\(\frac{a^2}{\sqrt{5-2\left(b+c\right)}}+\frac{b^2}{\sqrt{5-2\left(a+c\right)}}+\frac{c^2}{\sqrt{5-2\left(a+b\right)}}\ge3\)
Cho a, b, c là 3 cạnh của 1 tam giác. CMR
\(\sqrt{\frac{a}{b+c-a}}+\sqrt{\frac{b}{c+a-b}}+\sqrt{\frac{c}{b+a-c}}\)
cho các số dương a,b,c nhỏ hơn 3 và thỏa mãn \(abc\left(a+b+c\right)=3\). Chứng minh \(ab+bc+ac\ge3\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=\frac{a}{\sqrt{9-b^2}}+\frac{b}{\sqrt{9-c^2}}+\frac{c}{\sqrt{9-a^2}}\)
(4)Bài 1:Với \(\forall\) a>b>0. CMR: a+ \(\frac{1}{b\left(a-b\right)}\ge3\)
(7) Bài 2: Cho a,b,c \(\ne\) 0 .CMR: \(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}\ge\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}\)
(8) Bài 3: Cho a,b,c>0 thõa mãn abc=1
CMR: \(\frac{b+c}{\sqrt{a}}+\frac{c+a}{\sqrt{b}}+\frac{a+b}{\sqrt{c}}\ge\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}+3\)
