Question

Cho a,b,c là các số thực dương. CMR:

\(\sqrt{\dfrac{a}{b+c}}+\sqrt{\dfrac{b}{a+c}}+\sqrt{\dfrac{c}{a+b}}>2\)

( Đây là bài toán về BĐT mà mk không tìm thấy nên ghi đại bài )

P/s các bạn áp dụng BĐT Cauchy mà làm

Answer 1

Áp dụng BĐT Cauchy, ta có: \(\sqrt{\dfrac{b+c}{a}.1}\le\dfrac{\dfrac{b+c}{a}+1}{2}=\dfrac{a+b+c}{2a}\)

\(\Rightarrow\sqrt{\dfrac{a}{b+c}}\ge\dfrac{2a}{a+b+c}\) ___(1)___

Tương tự \(\sqrt{\dfrac{b}{a+c}}\ge\dfrac{2b}{a+b+c}\) __(2)__; \(\sqrt{\dfrac{c}{a+b}}\ge\dfrac{2c}{a+b+c}\) __(3)__

Cộng (1), (2) và (3) theo vế ta được \(\sqrt{\dfrac{a}{b+c}}+\sqrt{\dfrac{b}{a+c}}+\sqrt{\dfrac{c}{a+b}}\ge2\)

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=b+c\\b=c+a\end{matrix}\right.\Leftrightarrow a+b+c=0\) ( vô lí vì trái với giả thuyết bài ra )

Vậy ta có điều phải C/m