a) Vì \(AM\) là đường trung tuyến của \(\Delta ABC\left(gt\right)\)
=> \(M\) là trung điểm của \(BC.\)
=> \(BM=CM.\)
+ Vì \(\Delta ABC\) cân tại \(A\left(gt\right)\)
=> \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\) (tính chất tam giác cân).
Hay \(\widehat{EBM}=\widehat{FCM}.\)
Xét 2 \(\Delta\) vuông \(BEM\) và \(CFM\) có:
\(\widehat{BEM}=\widehat{CFM}=90^0\left(gt\right)\)
\(BM=CM\left(cmt\right)\)
\(\widehat{EBM}=\widehat{FCM}\left(cmt\right)\)
=> \(\Delta BEM=\Delta CFM\) (cạnh huyền - góc nhọn).
b) Theo câu a) ta có \(\Delta BEM=\Delta CFM.\)
=> \(BE=CF\) (2 cạnh tương ứng).
+ Vì \(\Delta ABC\) cân tại \(A\left(gt\right)\)
=> \(AB=AC\) (tính chất tam giác cân).
Ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}AE+BE=AB\\AF+CF=AC\end{matrix}\right.\)
Mà \(\left\{{}\begin{matrix}BE=CF\left(cmt\right)\\AB=AC\left(cmt\right)\end{matrix}\right.\)
=> \(AE=AF.\)
=> \(A\) thuộc đường trung trực của \(EF\) (1).
Xét 2 \(\Delta\) vuông \(AEM\) và \(AFM\) có:
\(\widehat{AEM}=\widehat{AFM}=90^0\left(gt\right)\)
\(AE=AF\left(cmt\right)\)
Cạnh AM chung
=> \(\Delta AEM=\Delta AFM\) (cạnh huyền - cạnh góc vuông).
=> \(EM=FM\) (2 cạnh tương ứng).
=> \(M\) thuộc đường trung trực của \(EF\) (2).
Từ (1) và (2) => \(AM\) là đường trung trực của \(EF.\)
c) Vì \(AB=AC\left(cmt\right)\)
=> \(A\) thuộc đường trung trực của \(BC\) (3).
Xét 2 \(\Delta\) vuông \(ABD\) và \(ACD\) có:
\(\widehat{ABD}=\widehat{ACD}=90^0\left(gt\right)\)
\(AB=AC\left(cmt\right)\)
Cạnh AD chung
=> \(\Delta ABD=\Delta ACD\) (cạnh huyền - cạnh góc vuông).
=> \(BD=CD\) (2 cạnh tương ứng).
=> \(D\) thuộc đường trung trực của \(BC\) (4).
Từ (3) và (4) => \(AD\) là đường trung trực của \(BC.\)
Hay \(AD\) là đường trung trực của \(EF.\)
=> \(AD\perp EF\) (định nghĩa đường trung trực).
+ Vì \(AM\) là đường trung trực của \(EF\left(cmt\right).\)
=> \(AM\perp EF\) (định nghĩa đường trung trực).
Mà \(AD\perp EF\left(cmt\right)\)
=> \(AM\) trùng với \(AD.\)
=> \(A,M,D\) thẳng hàng (đpcm).
Chúc bạn học tốt!
.
