Question

Cho ∆ABC cân tại A. Trên tia đối của các tia BC và CB lấy theo thứ tự 2 điểm D và E sao cho BD = CE.

a. Chứng minh: ∆ADE cân.

b. Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh AM là tia phân giác của góc DAE.

c. Từ B và C kẻ BH và CK theo thứ tự vuông góc với AD và AE. Chứng minh: BH = CK.

Answer 1

Ta có hình vẽ sau:

a/ Ta có: \(\widehat{B_1}+\widehat{B_2}=180^o\)

\(\widehat{C_1}+\widehat{C_2}=180^o\)

mà \(\widehat{B_1}=\widehat{C_1}\) (\(\Delta ABC\) cân tại A)

\(\Rightarrow\widehat{B_2}=\widehat{C_2}\)

Xét \(\Delta ABD\) và \(\Delta ACE\) có:

AB = AC (gt)

\(\widehat{B_2}=\widehat{C_2}\left(cmt\right)\)

BD = CE (gt)

\(\Rightarrow\Delta ABD=\Delta ACE\left(c-g-c\right)\)

\(\Rightarrow AD=AE\) (c t/ứng)

\(\Rightarrow\Delta ADE\) cân tại A (đpcm)

b/ Ta có: BD + BM = MD

CE + CM = ME

mà BD = CE (gt) ; BM = CM (gt)

=> MD = ME

Xét \(\Delta AMD\) và \(\Delta AME\) có:

AM: chung

AD = AE (đã cm)

MD = ME (cmt)

\(\Rightarrow\Delta AMD=\Delta AME\left(c-c-c\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{DAM}=\widehat{EAM}\) (g t/ứng)

\(\Rightarrow\) AM là tia p/g của góc DAE (đpcm)

c/ Xét 2\(\Delta vuông\): \(\Delta BDH\)và \(\Delta CEK\) có:

BD = CE (gt)

\(\widehat{HDB}=\widehat{KEC}\)(\(\Delta ADE\) cân)

\(\Rightarrow\Delta BDH=\Delta CEK\left(ch-gn\right)\)

\(\Rightarrow BH=CK\) (c t/ứng) (đpcm)

Answer 2

a, ΔADE cân:

Ta có: \(\widehat{B_1}+\widehat{B_{23}}=180^o\) (kề bù)

\(\widehat{C_1}+\widehat{C_{23}}=180^o\) (kề bù)

Mà \(\widehat{B_1}=\widehat{C_1}\) (ΔABC cân tại A)

\(\Rightarrow\widehat{B_{23}}=\widehat{C_{23}}\)

Xét ΔABD và ΔACE có:

+ BD = CE (gt)

+ \(\widehat{B_{23}}=\widehat{C_{23}}\) (cmt)

+ AB = AC (ΔABC cân tại A)

\(\Rightarrow\) ΔABD = ΔACE (c-g-c)

\(\Rightarrow\) AD = AE (2 cạnh tương ứng)

\(\Rightarrow\) ΔADE cân tại A.

b, AM là tia phân giác của góc DAE:

Ta có: M là trung điểm của BC

\(\Rightarrow\) BM = CM

Xét ΔABM và ΔACM có:

+ AB = AC (ΔABC cân tại A)

+ \(\widehat{B_1}=\widehat{C_1}\) (ΔABC cân tại A)

+ BM = CM (cmt)

\(\Rightarrow\) ΔABM = ΔACM (c-g-c)

\(\Rightarrow\) \(\widehat{A_1}=\widehat{A_2}\) (2 góc tương ứng)

\(\Rightarrow\) AM là phân giác của \(\widehat{DAE}\).

c, BH = CK:

Ta có: ΔABM = ΔACM (câu b)

\(\Rightarrow\) \(\widehat{A_3}=\widehat{A_4}\) (2 góc tương ứng)

Xét ΔAHB và ΔAKC có:

+ \(\widehat{K_2}=\widehat{H_2}\) (BH vuông góc với AD; CK vuông góc với AE)

+ AB = AC (ΔABC cân tại A)

+ \(\widehat{A_3}=\widehat{A_4}\) (cmt)

\(\Rightarrow\) ΔAHB = ΔAKC (cạnh huyền - góc nhọn)

\(\Rightarrow\) BH = CK (2 cạnh tương ứng)