Violympic toán 9

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Anh Phạm Xuân

Cho a,b,c > 0 và ab + bc + ca = 1. Tìm Min

\(p=\dfrac{2a}{\sqrt{1+a^2}}+\dfrac{2b}{\sqrt{1+b^2}}+\dfrac{2c}{\sqrt{1+c^2}}\)

Tinh Lãm
1 tháng 11 2018 lúc 20:42

Ta có:

1+a2 = ab+bc+ca+a2 = a(a+b)+c(a+b)=(a+b)(a+c)

Tương tự: 1+b2 = (b+c)(b+a)

1+c2 = (c+a)(c+b)

\(\Rightarrow\) P = \(2a\sqrt{\dfrac{1}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}+2b\sqrt{\dfrac{1}{\left(b+c\right)\left(b+a\right)}}+2c\sqrt{\dfrac{1}{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}}\)

Áp dụng BĐT Cô-si ta có:

P\(\le\)\(a\left(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{a+c}\right)+b\left(\dfrac{1}{4\left(b+c\right)}+\dfrac{1}{b+a}\right)+c\left(\dfrac{1}{4\left(c+b\right)}+\dfrac{1}{c+a}\right)\)\(\le\)\(\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{a}{a+c}+\dfrac{b}{4\left(b+c\right)}+\dfrac{b}{b+a}+\dfrac{c}{4\left(c+b\right)}+\dfrac{c}{c+a}\)

= \(\dfrac{1}{4}+2=\dfrac{9}{4}\)

\(\Rightarrow\)Pmin = \(\dfrac{9}{4}\)

Dấu "=" xảy ra\(\Leftrightarrow\) b=c=\(\dfrac{a}{7}\)=\(\dfrac{\sqrt{15}}{15}\) \(\Rightarrow\) a = \(\dfrac{7\sqrt{15}}{15}\)

Tinh Lãm
1 tháng 11 2018 lúc 21:13

Violympic toán 9


Các câu hỏi tương tự
Nguyễn Thế Hiếu
Xem chi tiết
Vũ Đình Thái
Xem chi tiết
camcon
Xem chi tiết
DƯƠNG PHAN KHÁNH DƯƠNG
Xem chi tiết
EDOGAWA CONAN
Xem chi tiết
Tuyển Trần Thị
Xem chi tiết
Tường Nguyễn Thế
Xem chi tiết
Big City Boy
Xem chi tiết
 Mashiro Shiina
Xem chi tiết