Lời giải:
Quy nạp. Ta chứng minh tổng quát rằng \(a^k+b^k=x^k+y^k(*)\) với \(k\in\mathbb{N}\)
Với $k=1,k=2$: hiển nhiên theo giả thiết.
............
Giả sử điều \((*)\) đúng tới $k=n$. Ta sẽ chứng minh nó cũng đúng với $k=n+1$. Tức là \(a^{n+1}+b^{n+1}=x^{n+1}+y^{n+1}\)
Thật vậy:
\(a^{n+1}+b^{n+1}=(a^n+b^n)(a+b)-a^nb-ab^n\)
\(=(x^n+y^n)(x+y)-ab(a^{n-1}+b^{n-1})\)
\(=(x^n+y^n)(x+y)-ab(x^{n-1}+y^{n-1})\)
Vì \(a^2+b^2=x^2+y^2\Rightarrow (a+b)^2-2ab=(x+y)^2-2xy\)
Mà $a+b=x+y$ nên \(2ab=2xy\Rightarrow ab=xy\)
\(\Rightarrow a^{n+1}+b^{n+1}=(x^n+y^n)(x+y)-xy(x^{n-1}+y^{n-1})=x^{n+1}+y^{n+1}\)
Quy nạp hoàn thành. Ta luôn có $(*)$. Thay $k=2018$ ta có đpcm.
