Violympic toán 8

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Nguyễn Thu Huyền

Cho a+b = x+y; a2+b2 = x2+y2. Chứng minh rằng: a2018+b2018 = x2018+y2018

Akai Haruma
23 tháng 9 2018 lúc 23:34

Lời giải:

Quy nạp. Ta chứng minh tổng quát rằng \(a^k+b^k=x^k+y^k(*)\) với \(k\in\mathbb{N}\)

Với $k=1,k=2$: hiển nhiên theo giả thiết.

............

Giả sử điều \((*)\) đúng tới $k=n$. Ta sẽ chứng minh nó cũng đúng với $k=n+1$. Tức là \(a^{n+1}+b^{n+1}=x^{n+1}+y^{n+1}\)

Thật vậy:

\(a^{n+1}+b^{n+1}=(a^n+b^n)(a+b)-a^nb-ab^n\)

\(=(x^n+y^n)(x+y)-ab(a^{n-1}+b^{n-1})\)

\(=(x^n+y^n)(x+y)-ab(x^{n-1}+y^{n-1})\)

\(a^2+b^2=x^2+y^2\Rightarrow (a+b)^2-2ab=(x+y)^2-2xy\)

Mà $a+b=x+y$ nên \(2ab=2xy\Rightarrow ab=xy\)

\(\Rightarrow a^{n+1}+b^{n+1}=(x^n+y^n)(x+y)-xy(x^{n-1}+y^{n-1})=x^{n+1}+y^{n+1}\)

Quy nạp hoàn thành. Ta luôn có $(*)$. Thay $k=2018$ ta có đpcm.


Các câu hỏi tương tự
Nguyễn Hà Trang
Xem chi tiết
X Buồn X
Xem chi tiết
Maxx
Xem chi tiết
Big City Boy
Xem chi tiết
phamthiminhanh
Xem chi tiết
Đinh Cẩm Tú
Xem chi tiết
Nguyễn Thị Thu Trang
Xem chi tiết
Thảo Vũ
Xem chi tiết
Đinh Cẩm Tú
Xem chi tiết
Đinh Cẩm Tú
Xem chi tiết