Question

Cho a,b và ab=6. Chứng minh \(\dfrac{a^2+b^2}{\left|a-b\right|}\ge4\sqrt{3}\)

Answer 1

Lời giải:
Bổ sung điều kiện $a\neq b$

Ta có: $\frac{a^2+b^2}{|a-b|}\geq 4\sqrt{3}$

$\Leftrightarrow a^2+b^2\geq 4\sqrt{3}|a-b|$

$\Leftrightarrow (a-b)^2+2ab-4\sqrt{3}|a-b|\geq 0$

$\Leftrightarrow |a-b|^2+12-4\sqrt{3}|a-b|\geq 0$

$\Leftrightarrow (|a-b|-2\sqrt{3})^2\geq 0$ (luôn đúng)

Do đó ta có đpcm.

Dấu "=" xảy ra khi $|a-b|=2\sqrt{3}$ và $ab=6$ hay $(a,b)=(3+\sqrt{3}, 3-\sqrt{3})$ và hoán vị