§1. Bất đẳng thức

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Thanh Thúy Trần

Cho a,b thỏa mãn điều kiện: a,b > 0 và a^2 + b^2 =2

CMR: \(\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)\left(\frac{a}{b^2}+\frac{b}{a^2}\right)\) ≥ 4

Akai Haruma
7 tháng 2 2020 lúc 18:12

Lời giải:

Áp dụng BĐT AM-GM:

$2=a^2+b^2\geq 2ab\Rightarrow ab\leq 1(1)$

$(a+b)^2=a^2+b^2+2ab\leq 2+2.1\Rightarrow a+b\leq 2$

Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:

$(a^3+b^3)(a+b)\geq (a^2+b^2)^2$

$\Rightarrow a^3+b^3\geq \frac{(a^2+b^2)^2}{a+b}=\frac{4}{a+b}\geq \frac{4}{2}=2(2)$

Do đó:

\((\frac{a}{b}+\frac{b}{a})(\frac{a}{b^2}+\frac{b}{a^2})=\frac{(a^2+b^2)(a^3+b^3)}{(ab)^3}=\frac{2(a^3+b^3)}{(ab)^3}\geq \frac{2.2}{1^3}=4\)

Ta có đpcm.

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=1$

Khách vãng lai đã xóa

Các câu hỏi tương tự
dbrby
Xem chi tiết
dbrby
Xem chi tiết
Trung Nguyen
Xem chi tiết
dbrby
Xem chi tiết
Oh Nguyễn
Xem chi tiết
Văn Thắng Hồ
Xem chi tiết
dbrby
Xem chi tiết
Phạm Dương Ngọc Nhi
Xem chi tiết
Ngọc Ánh
Xem chi tiết