Question

Cho a³+b³+c³=3abc với a,b,c khác 0 và a+b+c=0
Tính P=(2019+a/b)(2019+b/c)(2013+c/a)

Answer 1

Lời giải:
\(a^3+b^3+c^3=3abc\)

\(\Leftrightarrow (a+b)^3-3ab(a+b)+c^3-3abc=0\)

\(\Leftrightarrow (a+b)^3+c^3-3ab(a+b+c)=0\)

\(\Leftrightarrow (a+b+c)[(a+b)^2-c(a+b)+c^2]-3ab(a+b+c)=0\)

\(\Leftrightarrow (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)=0\)

Vì $a+b+c\neq 0$ nên $a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac=0$

$\Leftrightarrow 2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ac=0$

$\Leftrightarrow (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=0$

Vì $(a-b)^2, (b-c)^2, (c-a)^2\geq 0$ với mọi $a,b,c$ nên để tổng của chúng bằng $0$ thì:

$\Rightarrow (a-b)^2=(b-c)^2=(c-a)^2=0$

$\Leftrightarrow a=b=c$

Do đó:

\(P=\left(2019+\frac{a}{b}\right)\left(2019+\frac{b}{c}\right)\left(2019+\frac{c}{a}\right)\)

\(=(2019+1)(2019+1)(2019+1)=2010^3\)

Answer 2

Lời giải:
\(a^3+b^3+c^3=3abc\)

\(\Leftrightarrow (a+b)^3-3ab(a+b)+c^3-3abc=0\)

\(\Leftrightarrow (a+b)^3+c^3-3ab(a+b+c)=0\)

\(\Leftrightarrow (a+b+c)[(a+b)^2-c(a+b)+c^2]-3ab(a+b+c)=0\)

\(\Leftrightarrow (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)=0\)

Vì $a+b+c\neq 0$ nên $a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac=0$

$\Leftrightarrow 2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ac=0$

$\Leftrightarrow (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=0$

Vì $(a-b)^2, (b-c)^2, (c-a)^2\geq 0$ với mọi $a,b,c$ nên để tổng của chúng bằng $0$ thì:

$\Rightarrow (a-b)^2=(b-c)^2=(c-a)^2=0$

$\Leftrightarrow a=b=c$

Do đó:

\(P=\left(2019+\frac{a}{b}\right)\left(2019+\frac{b}{c}\right)\left(2019+\frac{c}{a}\right)\)

\(=(2019+1)(2019+1)(2019+1)=2010^3\)