Ta có: \(\left(a-1\right)^3=a^3-3a^2+3a-1\)
\(=a\left(a^2-3a+3\right)-1=a\left(a-\dfrac{3}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}a-1\ge\dfrac{3}{4}a-1\)
Tương tự cho 2 BĐT còn lại ta cũng có:
\(\left(b-1\right)^3\ge\dfrac{3}{4}b-1;\left(c-1\right)^3\ge\dfrac{3}{4}c-1\)
Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:
\(VT\ge\dfrac{3}{4}\left(a+b+c\right)-3=\dfrac{3}{4}\cdot3-3=-\dfrac{3}{4}\)
cho các số dương a,b,c thỏa mãn abc=1. chứng minh rằng
\(\dfrac{a^3}{\left(1+b\right)\left(1+c\right)}+\dfrac{b^3}{\left(1+c\right)\left(1+a\right)}+\dfrac{c^3}{\left(1+a\right)\left(1+c\right)}\ge\dfrac{3}{4}\)
Cho a;b;c >0. Chứng minh: \(\dfrac{a^8+b^8+c^8}{a^3b^3c^3}\)\(\ge\)\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\)
Bài 1: Cho x, y, z > 0 thỏa mãn xyz = 1. Chứng minh rằng: \(\dfrac{1}{x^3\left(y+z\right)}+\dfrac{1}{y^3\left(z+x\right)}+\dfrac{1}{z^3\left(x+y\right)}>=\dfrac{3}{2}\)
Bài 2: Cho a, b c > 0. Chứng minh rằng: \(\dfrac{a+3c}{a+b}+\dfrac{c+3a}{b+c}+\dfrac{4b}{c+a}>=6\)
cho a,b,c>0 chứng minh rằng
\(\dfrac{1}{\left(a-b\right)^2}+\dfrac{1}{\left(b-c\right)^2}+\dfrac{1}{\left(c-a\right)^2}\ge\dfrac{4}{ab+bc+ca}\)
Bài 1 : Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng : \(\dfrac{a^2}{b^3}+\dfrac{b^2}{c^3}+\dfrac{c^2}{a^3}>=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\)
Bài 2 : Cho a, b, c là các số thực. Chứng minh rằng : a4+b4+c4 >= abc(a+b+c)
Cho a,b,c>0. Chứng minh rằng: \(\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}\ge ab+bc+ca\)
a, Giải phương trình: 2\(\left(x-\sqrt{2x^2+5x-3}\right)=1+x\left(\sqrt{2x-1}-2\sqrt{x+3}\right)\)
b, Cho ba số thực dương a,b,c thỏa mãn a,b,c=1
Chứng minh rằng:\(\dfrac{1}{a^2+2b^2+3}+\dfrac{1}{b^2+2c^2+3}+\dfrac{1}{c^2+2a^2+3}\le\dfrac{1}{2}\)
cho 3 số thực a,b,c >0 thỏa mãn \(a^2+b^2+c^2=3\) ,chứng minh:
\(\dfrac{1}{4-\sqrt{ab}}+\dfrac{1}{4-\sqrt{bc}}+\dfrac{1}{4-\sqrt{ca}}\le1\)
dấu đẳng thức xảy ra khi nào ?
Cho các số a,b,c>0 và thỏa mãn a+b+c=3. Tìm GTNN
a, \(P=\dfrac{a}{1+b^2}+\dfrac{b}{1+c^2}+\dfrac{c}{1+a^2}\)
b, \(P=\dfrac{1}{a^2+1}+\dfrac{1}{b^2+1}+\dfrac{1}{c^2+1}\)
c, \(P=\dfrac{a+1}{b^2+1}+\dfrac{b+1}{c^2+1}+\dfrac{c+1}{a^2+1}\)
