Question

Cho a, b là các số dương. Cm rằng \(\dfrac{a^2}{b}\) + \(\dfrac{b^2}{a}\) \(\ge\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}\)

Mb ơi giúp mk với

Answer 1

Lời giải:

Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:

\(\left(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{a}\right)(a^2b+b^2a)\geq (a^2+b^2)^2\)

\(\Rightarrow \frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{a}\geq \frac{(a^2+b^2)^2}{ab(a+b)}(*)\)

--------------------

Tiếp tục áp dụng BĐT Bunhiacopxky:

\((a^2+b^2)(1+1)\geq (a+b)^2\Rightarrow \sqrt{2(a^2+b^2)}\geq a+b\)

Theo BĐT Cô-si: \(a^2+b^2\geq 2ab\Rightarrow \frac{a^2+b^2}{2}\geq ab\)

Do đó: \(\frac{a^2+b^2}{2}\sqrt{2(a^2+b^2)}\geq ab(a+b)\)

hay \(\sqrt{\frac{(a^2+b^2)^3}{2}}\geq ab(a+b)(**)\)

Từ \((*); (**)\Rightarrow \frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{a}\geq \frac{(a^2+b^2)^2}{\sqrt{\frac{(a^2+b^2)^3}{2}}}=\sqrt{2(a^2+b^2)}\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi $a=b$