Lời giải:
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
\(\left(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{a}\right)(a^2b+b^2a)\geq (a^2+b^2)^2\)
\(\Rightarrow \frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{a}\geq \frac{(a^2+b^2)^2}{ab(a+b)}(*)\)
--------------------
Tiếp tục áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
\((a^2+b^2)(1+1)\geq (a+b)^2\Rightarrow \sqrt{2(a^2+b^2)}\geq a+b\)
Theo BĐT Cô-si: \(a^2+b^2\geq 2ab\Rightarrow \frac{a^2+b^2}{2}\geq ab\)
Do đó: \(\frac{a^2+b^2}{2}\sqrt{2(a^2+b^2)}\geq ab(a+b)\)
hay \(\sqrt{\frac{(a^2+b^2)^3}{2}}\geq ab(a+b)(**)\)
Từ \((*); (**)\Rightarrow \frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{a}\geq \frac{(a^2+b^2)^2}{\sqrt{\frac{(a^2+b^2)^3}{2}}}=\sqrt{2(a^2+b^2)}\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi $a=b$
