\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{4}{a+b}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a+b}{ab}\ge\dfrac{4}{a+b}\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\)
\(\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2\ge4ab\)
\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\)(đúng)
=>đpcm
Biến đổi tương đương:
$\frac{1}{a}+\frac{1}{b} \geq \frac{4}{a+b} \\ \Leftrightarrow \frac{a+b}{ab} \geq \frac{4}{a+b} \\ \Leftrightarrow \frac{(a+b)^2}{ab(a+b)} \geq \frac{4ab}{ab(a+b)}$
Biểu thức trên luôn đúng do:
$\begin {cases} a+b >0 \\ ab>0 \\ a^2+b^2 \geq 2ab \to (a+b)^2 \geq 4ab \end {cases}$
1/a + 1/b ≥ 4/(a + b)
⇔ (a + b)/ab ≥ 4/(a + b) , do a,b > 0 --> ab > 0 và a + b > 0, quy đồng 2 vế
⇔ (a + b)² ≥ 4ab
⇔ a² + 2ab + b² ≥ 4ab
⇔ a² - 2ab + b² ≥ 0
⇔ (a - b)² ≥ 0 luôn đúng ∀ a,b > 0
--> đpcm
Dấu " = " xảy ra ⇔ a = b
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số dương 1/a và 1/b ta có
Ta có: 1/a + 1/b ≥ 2/√(ab)
lại có √ab = √a.√b ≤ (a + b)/2, cũng là bđt Cô-si
(hoặc có thể hiểu:
(√a - √b)² ≥ 0 --> a - 2√a.√b + b ≥ 0 --> a + b ≥ 2√a.√b --> √a.√b ≤ (a + b)/2 )
--> 1/a + 1/b ≥ 2/√(ab) ≥ 2/[(a + b)/2] = 4/(a + b) --> đpcm
Dấu " = " xảy ra ⇔ a = b
Áp dụng bất đẳng thức bunhiacôpxki , ta có
(a + b)(1/a + 1/b) ≥ (√a.1/√a + √b.1/√b)² = (1 + 1)² = 4
<--> (a + b)(1/a + 1/b) ≥ 4
<--> 1/a + 1/b ≥ 4/(a + b)
Dấu " = " xảy ra ⇔ a = b
