Áp dụng bđt Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có:
\(B=\dfrac{1}{a+1}+\dfrac{1}{b+1}+\dfrac{1}{c+1}\ge\dfrac{\left(1+1+1\right)^2}{a+1+b+1+c+1}=\dfrac{9}{0+3}=3\)
Dấu "=" xảy ra khi a = b = c = 0
Không dùng các BĐT cơ bản
a) Cho a,b,c > 0 ; abc = 1 ; \(a+b+c\ge\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\)
CMR : (a-1)(b-1)(c-1) \(\ge0\)
b) Trong 3 số a,b,c có 1 số lớn hơn 1 , 2 số còn lại nhỏ hơn 1
Chứng minh bđt:
\(\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{a+c}\right)\ge\dfrac{9}{2}\forall a,b,c>0\)
Bài 1: Cho a, b, c > 0. Chứng minh:
\(\dfrac{ab}{c}+\dfrac{bc}{a}+\dfrac{ac}{b}\ge a+b+c\)
Bài 2:
a) Tìm GTLN của A = \(\dfrac{x^2}{x^4+x^2+1}\)
b) Tìm GTLN của B = xy biết 4x + 5y = 40
Bài 3: Cho a, b, c > 0. Chứng minh:
\(\dfrac{-a+b+c}{2a}+\dfrac{a-b+c}{2b}+\dfrac{a+b-c}{2c}\ge\dfrac{3}{2}\)
Bài 4: Cho m, n > 0. Chứng minh:
\(\dfrac{a^2}{m}+\dfrac{b^2}{n}\ge\dfrac{\left(a+b\right)^2}{m+n}\)
Cho a > b > c > 0 và a2 + b2 + c2 =1
Chứng minh rằng: \(\dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{b^2}{a+c}+\dfrac{c^2}{a+b}\ge\dfrac{1}{2}\)
Cho a, b là các số dương.Chứng minh rằng: \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{4}{a+b}\)
Cho a,b,c >0. CMR
\(\dfrac{1}{a^2+bc}+\dfrac{1}{b^2+ac}+\dfrac{1}{c^2+ab}\le\dfrac{a+b+c}{2abc}\)
cho a,b,c >0 thỏa mãn a.b.c=1. chứng minh rằng \(\dfrac{1}{a^3.\left(b+c\right)}+\dfrac{1}{b^3\left(a+c\right)}+\dfrac{1}{c^3.\left(a+b\right)}>=\dfrac{3}{2}\)
B1:C/m
a)\(\dfrac{a^2+b^2}{2}\)\(>=ab\)
b)(a+b)\(\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)>=4\) (với a>0,b>0)
c)\(a\left(a+2\right)< \left(a+1\right)^2\)
Cho a,b,c>0 và a+b+c<1
CMR: \(\dfrac{1}{a^2+2bc}+\dfrac{1}{b^2+2ac}+\dfrac{1}{c^2+2ab}\ge9\)
