Ta sẽ dùng phép biến đổi tương đương nhé :
\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{4}{a+b}\)(1)
\(\Leftrightarrow\dfrac{b+a}{ab}\ge\dfrac{4}{a+b}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(a+b\right)\left(b+a\right)}{ab\left(a+b\right)}\ge\dfrac{4ab}{ab\left(a+b\right)}\)
Vì a,b là các số dương =) ab(a+b) > 0
\(\Rightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\)
\(\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2\ge4ab\)
\(\Leftrightarrow a^2+2ab-4ab+b^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0 \)(luôn đúng) (2)
BĐT (2) luôn đúng mà các phép biến đổi trên là tương đương suy ra BĐT (1) đúng
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b
\(\\\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{4}{a+b}\\\)
Dùng Cauchy_Schwarz
