Question

chứng minh : nếu a≤b thì \(\frac{-2}{3}\)a+4≥\(-\frac{2}{3}b\)+4

cho a,b là các số dương.Chứng minh rằng:\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)

Answer 1

a) \(a\le b\) \(\Rightarrow-a\ge-b\)

\(\Rightarrow-\frac{2}{3}a\ge-\frac{2}{3}b\) ( theo liên hệ giữa thứ tự và phép nhân )

\(\Rightarrow-\frac{2}{3}a+4\ge-\frac{2}{3}b+4\)

b) \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)

\(\Leftrightarrow\frac{a+b}{ab}\ge\frac{4}{a+b}\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2-4ab\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\)

Vì bđt cuối luôn đúng mà các biến đổi trên là tương đương nên bđt ban đầu luôn đúng

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b\)