Nhận xét đầu tiên: theo BĐT tam giác ta luôn có các nhân tử \(a+b-c;b+c-a;a+c-b\) đều dương
Dễ dàng chứng minh \(xy\le\frac{1}{4}\left(x+y\right)^2\) với mọi x;y (BĐT tương đương \(\left(x-y\right)^2\ge0\))
Do đó: \(\left(a+b-c\right)\left(a-b+c\right)\le\frac{1}{4}\left(2a\right)^2=a^2\) (1)
Tương tự: \(\left(a+b-c\right)\left(-a+b+c\right)\le b^2\) (2)
\(\left(a-b+c\right)\left(-a+b+c\right)\le c^2\) (3)
Do các vế của các BĐT (1); (2); (3) đều dương, nhân vế với vế ta được:
\(\left[\left(a+b-c\right)\left(a-b+c\right)\left(-a+b+c\right)\right]^2\le\left(abc\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b-c\right)\left(a-b+c\right)\left(-a+b+c\right)\le abc\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c\)
