Question

Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c = 6. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(P=\frac{a^3}{\left(b+c\right)^2}+\frac{b^3}{\left(c+a\right)^2}+\frac{c^3}{\left(a+b\right)^2}\)

Answer 1

\(P=\frac{a^3}{\left(6-a\right)^2}+\frac{b^3}{\left(6-b\right)^2}+\frac{c^3}{\left(6-c\right)^2}\)

Ta có đánh giá: \(\frac{a^3}{\left(6-a\right)^2}\ge a-\frac{3}{2}\) \(\forall a\in\left(0;3\right)\)

Thật vậy, BĐT tương đương:

\(2a^3\ge\left(2a-3\right)\left(a^2-12a+36\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(a-2\right)^2\ge0\) (luôn đúng)

Tương tự: \(\frac{b^3}{\left(6-a\right)^2}\ge b-\frac{3}{2}\) ; \(\frac{c^3}{\left(6-c\right)^2}\ge c-\frac{3}{2}\)

Cộng vế với vế:

\(P\ge a+b+c-\frac{9}{2}=\frac{3}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=2\)

Answer 2

Em giải bài này hồi chiều bên olm bằng hai cách rồi:D

Nhưng rảnh quá nên nhai lại cách 1 (không trùng với ad Lâm)

Theo BĐT AM-GM: \(\frac{a^3}{\left(b+c\right)^2}+\frac{b+c}{8}+\frac{b+c}{8}\ge\frac{3a}{4}\)

Suy ra \(\frac{a^3}{\left(b+c\right)^2}\ge\frac{3a-b-c}{4}\)

Tương tự hai BĐT còn lại rồi cộng theo vế: \(P\ge\frac{a+b+c}{4}=\frac{3}{2}\)

P/s: Lời giải được nhai lại từ: Câu hỏi của Phạm Trần Minh Trí - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath