Câu hỏi của Nguyễn Ngọc An

Question

Cho a; b; c là ba cạnh tam giác. CMR nếu (a+b)(b+c)(c+a)=8abc thì ABC là tam giác đều

Các bạn giúp mình bài này nhưng đừng sử dụng bất đẳng thức Cosi nhé, mình chưa học đến.

Lightning Farron · Accepted Answer

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

$VT=\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)$

$\ge2\sqrt{ab}\cdot2\sqrt{bc}\cdot2\sqrt{ca}=8abc=VP$

Khi $a=b=c$ tức $\Delta ABC$ đềuCâu trả lời: Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

$VT=\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)$

$\ge2\sqrt{ab}\cdot2\sqrt{bc}\cdot2\sqrt{ca}=8abc=VP$

Khi $a=b=c$ tức $\Delta ABC$ đều

Unruly Kid · Answer

Không dùng Cauchy kể cũng mệt

Ta có: $\left(a-b\right)^2\ge0$

$a^2-2ab+b^2\ge0$

$a^2-2ab+4ab+b^2\ge4ab$

$a^2+2ab+b^2\ge4ab$

$\left(a+b\right)^2\ge4ab$

Tương tự: $\left(b+c\right)^2\ge4bc$

$\left(c+a\right)^2\ge4ca$

Nhân từng vế, ta được

$\left(a+b\right)^2\left(b+c\right)^2\left(c+a\right)^2\ge64x^2y^2z^2$

$\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge8abc$

Dấu ''='' xảy ra khi a=b=c, tức là tam giác đó đềuCâu trả lời: Không dùng Cauchy kể cũng mệt