Question

Cho a + b + ab = 3 và a, b, c > 0. Chứng minh: a^3/b + a^3/a >= 2

Answer 1

** Bạn lưu ý lần sau viết đề bằng công thức toán (biểu tượng $\sum$ bên trái màn hình) để đề trông rõ ràng hơn $\Rightarrow$ khả năng được giải đáp cao hơn.

Sửa đề: CMR $\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{a}\geq 2$

Lời giải:

Áp dụng BĐT AM-GM: $\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{a}=\frac{a^4+b^4}{ab}$

$\geq \frac{(a^2+b^2)^2}{2ab}\geq \frac{2ab(a^2+b^2)}{2ab}=a^2+b^2(1)$

Mà:

$a^2+1\geq 2a$

$b^2+1\geq 2b$

$a^2+b^2\geq 2ab$

$\Rightarrow 2(a^2+b^2)+2\geq 2(a+b+ab)=6$

$\Rightarrow a^2+b^2\geq 2(2)$

Từ $(1);(2)$ ta có đpcm.

Answer 2

Cách khác:

Áp dụng BĐT AM-GM:

$\frac{a^3}{b}+b+1\geq 3a$

$\frac{b^3}{a}+a+1\geq 3b$

$\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{a}+ab\geq 3ab$

Cộng theo vế:

$\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{a}+(a+b+ab)+2\geq 3(a+b+ab)$

$\Leftrightarrow 2(\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{a})+3+2\geq 9$

$\Rightarrow \frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{a}\geq 2$ (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=1$