Question

cho 7 STN bất kì a^1 ; a^2 ;...;a^7.

chứng minh rằng luôn trọn được 4 số từ những số trên để tổng của chúng chia hết cho 4

Answer 1

Chọn 4 số trong \(a^1,a^2,a^3,....,a^7\) sao cho các số mũ là 4 số tự nhiên liên tiếp chẳng hạn:
Nếu a lẻ chọn:
\(a^1+a^2+a^3+a^4=a\left(1+a+a^2+a^3\right)=a\left(1+a\right)\left(a^2+1\right)\).
Nếu a lẻ thì 1 + a và \(a^2+1\) là các số chẵn nên \(a\left(1+a\right)\left(a^2+1\right)\) chia hết cho 4.
Nếu a chẵn chọn:
\(a^4+a^5+a^6+a^7=a^4\left(1+a+a^2+a^3\right)\).
Đặt \(a=2k\left(k\in N\right)\) thì \(a^4=\left(2k\right)^4=8k^4\) chia hết cho 4.
Suy ra \(a^4+a^5+a^6+a^7=a^4\left(1+a+a^2+a^3\right)\) chia hết cho 4.

Answer 2

Theo đề bài ta có:

a¹ ; a² ; ......... ; a⁷

Ví dụ:

a = 1

a¹ = 1^{1 = 1}

a² = 1² = 1

a³ = 1³ = 1

a⁴ = 1⁴ = 1

Mà 1 + 1 + 1 + 1 = 4 \(⋮\) 4

Vậy luôn chọn được 4 số từ những số trên để tổng của chúng chia hết cho 4 ( ĐPCM )