Giả sử trong 50 số tự nhiên nói trên tồn tại 5 số khác nhau, không mất tính tổng quát, giả sử \(a>b>c>d>e\)
Do 4 số bất kì đều lập thành 1 tỉ lệ thức, nên ta có các điều sau:
\(ad=bc\) (1); \(ae=bc\) (2)
Từ (1); (2) \(\Rightarrow d=e\) trái giả thiết \(d>e\)
Vậy điều giả sử là sai hay trong 50 số nói trên chỉ tồn tại nhiều nhất 4 số bằng nhau
Theo nguyên lý Dirichlet thì có ít nhất \(\left[\frac{50}{4}\right]+1=13\) số bằng nhau
Một tứ giác lồi có độ dài bốn cạnh đều là số tự nhiên sao cho tổng ba số bất kì trong chúng chia hết cho số còn lại. Chứng minh rằng tứ giác đó có ít nhất hai cạnh bằng nhau.
1. Chứng minh rằng nếu \(p\ge2\) là một số tự nhiên sao cho \(\left\{{}\begin{matrix}2^p+2⋮p\\2^p+1⋮\left(p-1\right)\end{matrix}\right.\) thì số tự nhiên \(m=2^p+2\) cũng thoả mãn tính chất ấy ( nghĩa là khi đó thay m vào p thì đk vẫn thoả mãn \(\left\{{}\begin{matrix}2^m+2⋮m\\2^m+1⋮\left(m-1\right)\end{matrix}\right.\))
Cho a= \(\sqrt{2}-1\)
a) Viết a2 , a3 dưới dạng \(\sqrt{m}-\sqrt{m-1}\) trong đó m là số tự nhiên .
b*) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, số an viết được dưới dạng trên.
Cho mười số nguyên dương 1, 2,3,....,8,9,10 . Sắp xếp mười số đó một cách tùy ý thành một dãy số. Cộng mỗi số với số thứ tự của nó trong dãy ta được mười tổng. Chứng minh rằng trong mười tổng đó tồn tại ít nhất hai tổng có chữ số tận cùng giống nhau
Một tứ giác lồi có độ dài bốn cạnh đều là số tự nhiên sao cho tổng độ dài của 3 cạnh bất kì trong chúng luôn chia hết cho độ dài của cạnh còn lại. Chứng minh rằng tứ giác đó có ít nhất hai cạnh bằng nhau.
chứng minh rằng luôn tìm được số có dạng 199819981998...1998000000......000 ( trong đó có 1998 nhóm số 1998) chia hết cho 1999
chỉ từ các chữ số 1 , 2 , 3 , 4 , 5 lập được nhiều nhất bao nhiêu số tự nhiên lẽ khác nhau mà mỗi số đều có bốn chữ số
Cho tập X={0;1;2;3;4;5}. Hỏi từ X ta lập đuợc bao nhiêu số tự nhiên \(\overline{abcdef} \)gồm 6 chữ số khác nhau thoả mãn d+e+f-a-b-c=1
Chứng minh rằng nếu \(a+b+c=2009\) và \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=\dfrac{1}{2008}\) thì một trong ba số phải có một số bằng 2009.
