Question

Cho 5 số a ; b; c ; d ;e biết : a^b = b^c = c^d = d^e = e^a . Cm : a = b = c = d = e

Answer 1

Không mất tính tổng quát giả sử \(a\ge b\)

Vì \(\left\{{}\begin{matrix}a^b=b^c\\a\ge b\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow b\le c\)

Vì \(\left\{{}\begin{matrix}b^c=c^d\\b\le c\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow c\ge d\)

Vì \(\left\{{}\begin{matrix}c^d=d^{\text{e}}\\c\ge d\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow d\le e\)

Vì \(\left\{{}\begin{matrix}d^e=e^a\\d\le e\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow e\ge a\)

Vì \(\left\{{}\begin{matrix}e^a=a^b\\e\ge a\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow a\le b\) (Trái với giả sử)

Nên xảy ra khi \(a=b \Rightarrow a=b=c=d=e\)