Question

cho 3 số thực x,y,z>0 thỏa mãn \(x+y+z\ge6\)

Tìm GTNN của \(P=\frac{x^3+y^3}{x^2+y^2}+\frac{y^3+z^3}{y^2+z^2}+\frac{z^3+x^3}{z^2+x^2}\)

Answer 1

Với \(a;b>0\) ta luôn có: \(\frac{a^3+b^3}{a^2+b^2}\ge\frac{a+b}{2}\)

Thật vậy, BĐT tương đương:

\(2\left(a^3+b^3\right)\ge\left(a^2+b^2\right)\left(a+b\right)\)

\(\Leftrightarrow a^3-a^2b+b^3-ab^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)\ge0\) (luôn đúng)

Áp dụng vào bài toán:

\(P=\frac{x^3+y^3}{x^2+y^2}+\frac{y^3+z^3}{y^2+z^2}+\frac{z^3+x^3}{z^2+x^2}\ge\frac{x+y}{2}+\frac{y+z}{2}+\frac{z+x}{2}=x+y+z\ge6\)

\(\Rightarrow P_{min}=6\) khi \(x=y=z=2\)