Question

Cho 3 số thực x,y,z thỏa mãn đẳng thức \(\sqrt{x+y}=\sqrt{z+x}+\sqrt{y+z}\)

CMR: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0\)

Answer 1

ĐK: \(x+y;y+z;z+x\ge0\).

Bình phương hai vế của đẳng thức đã cho ta được:

\(x+y=z+x+y+z+2\sqrt{\left(z+x\right)\left(y+z\right)}\)

\(\Leftrightarrow z+\sqrt{\left(z+x\right)\left(y+z\right)}=0\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(z+x\right)\left(y+z\right)}=-z\) (1).

Đến đây ta có \(z\le0\).

Do đó \(\left(1\right)\Leftrightarrow\left(z+x\right)\left(y+z\right)=z^2\Leftrightarrow zx+yz+xy=0\).

Đến đây dễ có \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0\).