Question

Cho 3 số thực dương thỏa mãn: \(a^3b^3 +b^3c^3+c^3a^3=3\). Chứng minh rằng: \(a^7+b^7+c^7\ge3\)

Answer 1

áp dụng đẳng thức AM - GM cho 7 số :3 số \(a^7,3\) số \(b^7\) và số 1,ta có

\(3a^7+3b^7+1\ge7^7\sqrt{a^{21}.b^{21}1}=7a^7b^7\left(1\right)\)

tương tự

\(3a^7+3b^7+1\ge7b^3c^3\left(2\right)\);\(3c^7+3a^7+1\ge7c^3a^3\left(3\right)\)

công thức về các bất đẳng thức (1);(2);(3) ta được

\(6\left(a^7+b^7+c^7\right)+3\ge7\left(a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3\right)\)

\(\Leftrightarrow6\left(a^7+b^7+c^7\right)+3\ge7.3\)

\(\Leftrightarrow a^7+b^7+c^7\ge3\left(đpcm\right)\)