Violympic toán 9

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Trần Đình Đắc

Cho 3 số nguyên dương \(a,b,c\) thỏa mãn \(a^3+b^3+c^3⋮14\). Chứng minh rằng \(abc⋮14\)

Akai Haruma
1 tháng 7 2020 lúc 0:07

Lời giải:

Nếu $a,b,c$ đều lẻ thì $a^3+b^3+c^3$ lẻ (vô lý vì $a^3+b^3+c^3\vdots 14$)

Do đó tồn tại ít nhất 1 số chẵn trong 3 số $a,b,c$

$\Rightarrow abc\vdots 2(1)$

Mặt khác, ta biết một số lập phương khi chia cho $7$ có dư $0,1,6$

Nếu trong 3 số $a^3,b^3,c^3$ không có số nào chia hết cho $7$ thì khi đó $a^3,b^3,c^3\equiv 1,6\pmod 7$

$\Rightarrow a^3+b^3+c^3\equiv 1; 3; 4; 6\pmod 7$ (vô lý do $a^3+b^3+c^3\vdots 14\vdots 7$)

Do đó tồn tại ít nhất 1 trong 3 số $a^3,b^3,c^3$ chia hết cho $7$

$\Leftrightarrow $ tồn tại ít nhất 1 trong 3 số $a,b,c$ chia hết cho $7$

$\Rightarrow abc\vdots 7(2)$

Từ $(1);(2)$ mà $(2,7)=1$ nên $abc\vdots 14$ (đpcm)


Các câu hỏi tương tự
Trần Việt Khoa
Xem chi tiết
🍀Cố lên!!🍀
Xem chi tiết
🍀Cố lên!!🍀
Xem chi tiết
Big City Boy
Xem chi tiết
Agami Raito
Xem chi tiết
Tạ Uyên
Xem chi tiết
Thành Trương
Xem chi tiết
Quoc Hung Ta
Xem chi tiết
Bolbbalgan4
Xem chi tiết