Lời giải:
Nếu $a,b,c$ đều lẻ thì $a^3+b^3+c^3$ lẻ (vô lý vì $a^3+b^3+c^3\vdots 14$)
Do đó tồn tại ít nhất 1 số chẵn trong 3 số $a,b,c$
$\Rightarrow abc\vdots 2(1)$
Mặt khác, ta biết một số lập phương khi chia cho $7$ có dư $0,1,6$
Nếu trong 3 số $a^3,b^3,c^3$ không có số nào chia hết cho $7$ thì khi đó $a^3,b^3,c^3\equiv 1,6\pmod 7$
$\Rightarrow a^3+b^3+c^3\equiv 1; 3; 4; 6\pmod 7$ (vô lý do $a^3+b^3+c^3\vdots 14\vdots 7$)
Do đó tồn tại ít nhất 1 trong 3 số $a^3,b^3,c^3$ chia hết cho $7$
$\Leftrightarrow $ tồn tại ít nhất 1 trong 3 số $a,b,c$ chia hết cho $7$
$\Rightarrow abc\vdots 7(2)$
Từ $(1);(2)$ mà $(2,7)=1$ nên $abc\vdots 14$ (đpcm)
