bài này mà ko làm dc thì khỏi thi về quê chăn vịt nhé
\(ab\le\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^2=\dfrac{4020025}{4}\)
Xảy ra khi \(a=b=\dfrac{2005}{2}\)
tự nhiên thì nghĩ ra mỗi nó dương thì AM-GM thẳng cánh ai mà ngờ ....
Khó ở chỗ a,b tự nhiên suy ra nếu \(a=b\) thì a,b không là số nguyên nên \(a\ne b\)
Nên ta có: \(\left|a-b\right|\ge1\Rightarrow a^2+b^2-2ab\ge1\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)^2-4ab\ge1\Rightarrow4ab\le\left(a+b\right)^2-1\)
\(\Rightarrow ab\le\dfrac{\left(a+b\right)^2-1}{4}=\dfrac{2005^2-1}{4}\)
Giải:
Ta có:
\(4ab=\left(a+b\right)^2-\left(a-b\right)^2\) \(=2005^2-\left(a-b\right)^2\)
\(\Rightarrow ab_{\text{lớn nhất}}\Leftrightarrow a-b_{\text{nhỏ nhất}}\)
Giả sử \(a>b\) (không thể xảy ra \(a=b\))
Do \(b\le a\le2004\) nên \(a-b\le2003\)
\(\Rightarrow\left(a-b\right)_{max}=2003\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=2004\\b=1\end{matrix}\right.\)
Do đó \(ab_{max}=1002.1003\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=1003\\b=1002\end{matrix}\right.\)
Vậy...
