Question

Cho 2 số nguyên dương x;y thỏa \(x^2+y^2-x⋮xy\).

CM : x là SCP

Answer 1

Lời giải:

Ta có:

\(x^2+y^2-x\vdots xy\Rightarrow x^2+y^2-x\vdots x\Rightarrow y^2\vdots x\)

Đặt \(y^2=xk\) với \(k\in\mathbb{Z}^+\). Thay vào điều kiện ban đầu:

\(x^2+(xk)^2-x\vdots xy\Rightarrow x+xk^2-1\vdots y\)

Gọi \(d=\text{UCLN}(x,k)\). Vì \(y^2=xk\Rightarrow y^2\vdots d^2\Rightarrow y\vdots d\)

Suy ra \(x+xk^2-1\vdots y\vdots d\). Mà \(x\vdots d\Rightarrow 1\vdots d\Rightarrow d=1\)

Có nghĩa là \(x,k\) nguyên tố cùng nhau. Mà \(xk=y^2\) là 1 số chính phương, do đó bản thân \(x\) cũng là số chính phương.

Ta có đpcm.