Question

Câu 1:

Tìm hệ số của số hạng trong khai triển sau:

1, Tìm hệ số x⁶ trong khai triển của biểu thức: A = (2x-1)¹¹ + (x²+1)⁷

2, Tìm hệ số của x³ trong khai triển của biểu thức: A = (x+1)¹⁰ + (x-1)⁵

3, Khai triển P (x) dưới dạng: P(x) = a₀+a₁x+a₂x+...+a_nx_n

a, Tìm hệ số a₉: P(x)= (1+x)⁹+(1+x)¹⁰+(1+x)¹¹+...+(1+n)¹⁴

b, Tìm hệ số: P(x)=(1+x)+2(1+x)²+3(1+x)³+...+20(1+x)²⁰

Câu 2:

Cho khai triển: \(\left(\frac{1}{3}+\frac{2}{3}x\right)^{10}\)= a₀+a₁x+...+a₁₀x¹⁰. Hãy tìm số hạng a_k lớn nhất.

Answer 1

1.1

Số hạng tổng quát của khai triển \(\left(2x-1\right)^{11}\) là:

\(C_{11}^k2^kx^k.\left(-1\right)^{11-k}=C_{11}^k2^k.\left(-1\right)^{11-k}.x^k\)

Số hạng \(x^6\Rightarrow k=6\) có hệ số \(C_{11}^62^6\left(-1\right)^5=-C_{11}^6.2^6\)

Số hạng tổng quát của khai triển \(\left(x^2+1\right)^7\) là:

\(C_7^i\left(x^2\right)^i\left(1\right)^{7-i}=C_7^ix^{2i}\)

Số hạng chứa \(x^6\Rightarrow2i=6\Rightarrow i=3\) có hệ số \(C_7^3\)

Vậy hệ số của \(x^6\) trong khai triển của A là: \(-C_{11}^6.2^6+C_7^3=...\)

1.2

Tương tự như câu trên:

\(\left(x+1\right)^{10}\) có SHTQ: \(C_{10}^kx^k\Rightarrow\) số hạng chứa \(x^3\) \(\Rightarrow k=3\Rightarrow\) hệ số \(C_{10}^3\)

\(\left(x-1\right)^5\) có SHTQ \(C_5^ix^i\left(-1\right)^{5-i}\) số hạng chứa \(x^3\) \(\Rightarrow i=3\Rightarrow\) hệ số \(C_5^3\left(-1\right)^2=C_5^3\)

Hệ số: \(C_{10}^3+C_5^3=...\)

Answer 2

1.3. Xem lại toàn bộ đề bài câu này

Câu a thì số hạng cuối có gì đó sai sai

Câu b thì tìm hệ số của số hạng nào?

2.

Số hạng tổng quát của khai triển:

\(\left(\frac{1}{3}+\frac{2}{3}x\right)^{10}=\frac{1}{3^{10}}\left(1+2x\right)^{10}\)

Do đó ta chỉ cần tìm hệ số lớn nhất trong khai triển: \(\left(1+2x\right)^{10}\)

SHTQ của khai triển trên: \(C_{10}^k\left(2x\right)^k.1^{10-k}=C_{10}^k2^kx^k\)

Hệ số của SHTQ: \(C_{10}^k.2^k\)

Số hạng thứ k có hệ số lớn nhất khi và chỉ khi:

\(\left\{{}\begin{matrix}a_k\ge a_{k-1}\\a_k\ge a_{k+1}\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}C_{10}^k2^k\ge C_{10}^{k-1}2^{k-1}\\C_{10}^k2^k\ge C_{10}^{k+1}2^{k+1}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\frac{2.10!}{k!\left(10-k\right)!}\ge\frac{10!}{\left(k-1\right)!\left(11-k\right)!}\\\frac{10!}{k!\left(10-k\right)!}\ge\frac{2.10!}{\left(k+1\right)!\left(9-k\right)!}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\frac{2}{k}\ge\frac{1}{11-k}\\\frac{1}{10-k}\ge\frac{2}{k+1}\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}22-2k\ge k\\k+1\ge20-2k\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\frac{19}{3}\le k\le\frac{22}{3}\Rightarrow k=7\)

Vậy số hạng lớn nhất \(a_7=\frac{1}{3^{10}}.C_{10}^7.2^7=...\)