Question

Câu 1 :Cho (d): \(y=\left(m-1\right)x+2m\). Khoảng cách lớn nhất từ O đến (d) là ?

Câu 2 : Cho parabol (P) \(y=\frac{1}{2}x^2\) và đường thẳng (d): \(y=x+m\) . Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm A, B sao cho tam giác AOB vuông tại O .

Câu 3 : Cho hàm số bậc nhất \(y=\left(m^2-4m-4\right)x+3m-2\) có đồ thị là (d) .Tìm số giá trị nguyên dương của m để đường thẳng (d) cắt trục hoành và trục tung lần lượt tại hai điểm A, B sao cho tam giác AOB là tam giác cân .

Câu 4 : Hàm số \(y=\frac{4}{x}+\frac{9}{1-x}\) với 0 < x < 1, đạt giá trị nhỏ nhất tại \(x=\frac{a}{b}\) ( a,b nguyên dương , phân số \(\frac{a}{b}\) tối giản khi đó a + b bằng bao nhiêu ?

Answer 1

Câu 1:

ĐK: $m\neq 1$

Giả sử $(d)$ cắt $Ox, Oy$ lần lượt tại $A$ và $B$. Ta có:

$(m-1)x_A+2m=y_A=0\Rightarrow x_A=\frac{-2m}{m-1}$

$y_B=(m-1).x_B+2m=(m-1).0+2m=2m$

$\Rightarrow OA=|x_A|=2|\frac{m}{m-1}|$ và $OB=|y_B|=2|m|$

Gọi khoảng cách từ $O$ đến $(d)$ là $h$.

Theo công thức hệ thức lượng trong tam giác vuông:

\(\frac{1}{h^2}=\frac{1}{OA^2}+\frac{1}{OB^2}=\frac{1}{|x_A|^2}+\frac{1}{|y_B|^2}=\frac{1}{4(\frac{m}{m-1})^2}+\frac{1}{4m^2}=\frac{(m-1)^2+1}{4m^2}\)

Để $h$ max thì $\frac{(m-1)^2+1}{4m^2}=\frac{1}{h^2}$ min

Ta có:

$\frac{(m-1)^2+1}{4m^2}=\frac{1}{2}(\frac{1}{m^2}-\frac{1}{m}+\frac{1}{4})+\frac{1}{8}=\frac{1}{2}(\frac{1}{m}-\frac{1}{2})^2+\frac{1}{8}$ min bằng $\frac{1}{8}$ khi $\frac{1}{m}-\frac{1}{2}=0\Leftrightarrow m=2$

Answer 2

Câu 2:

Hoành độ giao điểm $x_A,x_B$ là nghiệm của PT:

$\frac{1}{2}x^2=x+m$

$\Leftrightarrow x^2-2x-2m=0(*)$

Để $(*)$ có 2 nghiệm phân biệt $x_A,x_B$ thì $\Delta'=1+2m>0\Leftrightarrow m> \frac{-1}{2}$

Áp dụng định lý Viet: \(\left\{\begin{matrix} x_A+x_B=2\\ x_Ax_B=-2m\end{matrix}\right.\)

Vì $A,O,B$ là 3 điểm pb nên $x_A,x_B\neq x_O\Leftrightarrow x_A,x_B\neq 0\Leftrightarrow x_Ax_B\neq 0\Leftrightarrow m\neq 0$

Để $AOB$ vuông tại $O$ thì: $OA^2+OB^2=AB^2$

$\Leftrightarrow x_A^2+y_A^2+x_B^2+y_B^2=(x_A-x_B)^2+(y_A-y_B)^2$

$\Leftrightarrow x_Ax_B+y_Ay_B=0$

$\Leftrightarrow x_Ax_B+(x_A+m)(x_B+m)=0$

$\Leftrightarrow 2x_Ax_B+m(x_A+x_B)+m^2=0$

$\Leftrightarrow -4m+2m+m^2=0\Leftrightarrow m^2-2m=0$

$\Leftrightarrow m=0$ hoặc $m=2$. Vì $m\neq 0$ nên $m=2$ là đáp án duy nhất thỏa mãn

Answer 3

Câu 3:

ĐK để $y$ là hàm bậc nhất: $m^2-4m-4\neq 0$

$A\in Ox$ nên $y_A=0$; $B\in Oy$ nên $x_B=0$

$A,B\in (d)$ nên:

$(m^2-4m-4)x_A+3m-2=y_A=0\Rightarrow x_A=\frac{2-3m}{m^2-4m-4}$

$y_B=(m^2-4m-4)x_B+3m-2=(m^2-4m-4).0+3m-2=3m-2$

$\Rightarrow$:

$OA=|x_A|=|\frac{2-3m}{m^2-4m-4}|$

$OB=|y_B|=|3m-2|$

Để $A,O,B$ là 3 điểm của 1 tam giác thì $x_A\neq x_O; y_B\neq y_O$

$\Leftrightarrow m\neq \frac{2}{3}$

Để $AOB$ cân (tại $O$??) thì : $OA=OB$

$\Leftrightarrow |\frac{2-3m}{m^2-4m-4}|=|3m-2|$

$\Leftrightarrow \frac{2-3m}{m^2-4m-4}=\pm (3m-2)$

Nếu $\frac{2-3m}{m^2-4m-4}=3m-2$

$\Leftrightarrow (2-3m)(\frac{1}{m^2-4m-4}+1)=0$

$\Leftrightarrow \frac{(2-3m)(m^2-4m-3)}{m^2-4m-4}=0$

$\Rightarrow (2-3m)(m^2-4m-3)=0$

$\Rightarrow m=2\pm \sqrt{7}$ (thỏa mãn)

Nếu $\frac{2-3m}{m^2-4m-4}=2-3m$

$\Leftrightarrow (2-3m)(\frac{1}{m^2-4m-4}-1)=0$

$\Leftrightarrow \frac{(2-3m)(m^2-4m-5)}{m^2-4m-4}=0$

$\Rightarrow (2-3m)(m^2-4m-5)=0$

$\Rightarrow m=5;-1$

Vậy tóm lại có $4$ giá trị $m$ thỏa mãn.

Answer 4

Câu 4:

$0< x< 1\Rightarrow x>0; 1-x>0$

Áp dụng BĐT Bunhiacopxky ta có:

\(\left(\frac{4}{x}+\frac{9}{1-x}\right)(x+1-x)\geq (2+3)^2\)

\(\Leftrightarrow y\geq 25\). Vậy $y_{\min}=25$. Dấu "=" xác định tại \(\frac{2}{x}=\frac{3}{1-x}\Leftrightarrow x=\frac{2}{5}\)

$\Rightarrow a=2; b=5\Rightarrow a+b=7$

Answer 5

Cách khác câu 4 (dùng AM-GM và pp chọn điểm rơi)

Lấy $k>0$. Áp dụng BĐT AM-GM cho các số dương thì:

$kx+\frac{4}{x}\geq 4\sqrt{k}$

$k(1-x)+\frac{9}{1-x}\geq 6\sqrt{k}$

Cộng theo vế:

$k+y\geq 10\sqrt{k}\Leftrightarrow y_{\min}=10\sqrt{k}-k$

Dấu "=" xảy ra khi \(\left\{\begin{matrix} kx=\frac{4}{x}\\ k(1-x)=\frac{9}{1-x}\end{matrix}\right.\Rightarrow \frac{4}{x^2}=\frac{9}{(1-x)^2}\)

Kết hợp $1> x>0$ ta giải PT ra được $x=\frac{2}{5}$ nên $a+b=2+5=7$