Question

Biết xy=1 và |x+y| đạt giá trị nhỏ nhất. Tính giá trị biểu thức sau: \(M=\dfrac{3}{4}+\left(\sqrt{5x^{2016}+4y}-2\right)^{2017}-\dfrac{x^{2015}}{y^{2016}}\)

Answer 1

có/x+y/ lớn hơn hoặc bằng

/x/+/y/ dấu bằng xảy ra <=>

xy lớn hơn hoặc bằng 0

mà xy=1 =>/x+y/=/x/+/y/ (1)

lại có /x/+/y/-2\(\sqrt{xy}\)\(=\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2\) lớn hơn hoặc bằng 0

=>/x/+/y/ lớn hơn hoặc bằng 2\(\sqrt{xy}\)=2 (2)

từ (1) và (2)

=>/x+y/ lớn hơn hoặc bằng 2

=> MIN /x+y/ =2

dấu bằng xảy ra

<=> /x+y/=2

hay /x/+/y/ \(=2\sqrt{xy}\)

=>\(\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2=0\)

=>\(\sqrt{x}=\sqrt{y}=>x=y\)

mà /x+y / =2

TH1 x+y=2=>x=y=1

thay vào M ta tính được M=\(\dfrac{3}{4}\)

TH2 x+y =-2 =>x=y=-1

thay vào M ta được

M=\(\dfrac{3}{4}\)