Bài hình đề thi HSG huyện mình nè
1)Cho \(\Delta ABC\) vuông tại A.Kẻ trung tuyến AK.Qua K kẻ đường thẳng vuông góc với AK cắt AB,AC lần lượt ở D và E gọi I là trung điểm của DE.
a)CMR:\(AI\perp BC\) b)So sánh DE và BC
2)Cho \(\Delta ABC\) vuông tại B.Đường cao BE.Tính các góc nhọn \(\Delta ABC\) biết EC-EA=AB
Tớ chỉ giải được câu 2 thui...........Sorry
Trên tia EC lấy D sao cho AE=DE (1)
Xét tam giác BAE và tam giác BDE:
BE chung
\(\widehat{BEA}=\widehat{BED}\left(=90^o\right)\)
AE=DE
\(\Rightarrow\Delta BAE=\Delta BDE\left(c.g.c\right)\)
\(\Rightarrow\) AB=DB (2) ; \(\widehat{A}=\widehat{BDE}\)
EC-EA=AB và (1) \(\Rightarrow\)EC-ED=AB(=DC) (3)
Từ (2) và (3)\(\Rightarrow\) BD=CD\(\Rightarrow\Delta BDC\) cân tại D\(\Rightarrow\)\(\widehat{DBC}=\widehat{C}=\dfrac{\widehat{BDC}}{2}\)
Có \(\widehat{BDE}+\widehat{BDC}=180^o\)
\(\Rightarrow\widehat{DBC}=\widehat{C}=\dfrac{\widehat{BDC}}{2}=\dfrac{\widehat{A}}{2}\)
\(\Rightarrow2\widehat{C}=\widehat{A}\)
Mà \(\widehat{A}+\widehat{ABC}+\widehat{C}=180^o\)
\(\Rightarrow\widehat{A}=60^o;\widehat{C}=30^o\)
oa huyenj bạn cho cả trung tuyến ak?
huyện của mình ko cho đến trung tuyến đâu 
bn ở Tam Quan à mk cx thi đè náy làm được bài 6 hà bn tính được bao nhiêu điểm
làm thì nhiều nhưng ko biết bao nhiêu điểm
mk tick mỗi người một cái tick lại nhen
Đây là đáp án của mình mn tham khảo :)
Hình tự vẽ
1)Gọi giao điểm của AI với BC là M,nối A với M
Đầu tiên ta chứng minh đinh lý:trong một tam giác vuông đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng 1/2 cạnh huyền(tớ sẽ cm ở cuối bài)
Áp dụng vào bài toán
Ta có:AK là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC của tam giác vuông ABC
=>AK=BK=CK=1/2BC
=>\(\Delta ABK\) cân tại K
\(\Rightarrow\widehat{KBA}=\widehat{KAB}\)
Mà \(\widehat{BAK}+\widehat{KAE}=\widehat{KEA}+\widehat{KAE}\left(=90^0\right)\)
\(\Rightarrow\widehat{KBA}=\widehat{KEA}\left(=\widehat{KAB}\right)\)(1)
Lại có:AI là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền DE của tam giác vuông ADE
=>AI=DI=IE=1/2DE
\(\Rightarrow\Delta AID\) cân tại I
\(\Rightarrow\widehat{IDA}=\widehat{IAD}\)(2)
Cộng (1) và (2)
\(\Rightarrow\widehat{KBA}+\widehat{IAD}=\widehat{KEA}+\widehat{IDA}\)
\(\Rightarrow\widehat{MBA}+\widehat{MAB}=90^0\)
\(\Rightarrow\widehat{MBA}+\widehat{MAB}+\widehat{BMA}=90^0+\widehat{BMA}\)
\(\Rightarrow90^0+\widehat{BMA}=180^0\)
\(\Rightarrow\widehat{BMA}=90^0\)
\(\Rightarrow AM\perp BC\)
\(\Rightarrow AI\perp BC\left(đpcm\right)\)
b)Xét \(\Delta AIK\) vuông tại K=>AI>AK
=>AI+AI>AK+AK
=>2AI>2AK
=>DE>BC
Chứng minh định lý:
Vẽ AM là đường trung tuyến của tam giác vuông ABC
Trên tia đối tia MA lấy điểm E sao cho MA=ME
=>\(\Delta AMB=\Delta EMC\left(c.g.c\right)\)
\(\Rightarrow\widehat{BAM}=\widehat{CEM}\)(2 góc tương ứng),AB=CE(2 cạnh tương ứng)
Mà 2 góc này ở vị trí slt
=>AB//CE
=>CE\(\perp\)AC
\(\Rightarrow\Delta ABC=\Delta CEA\left(c.g.c\right)\)
\(\Rightarrow BC=AE\)(2 cạnh tương ứng)
Mà AM=1/2AE
=>AM=1/2BC
=>đpcm
2)Vì EC-EA=AB
=>EC>EA
Trên tia EC lấy điểm M sao cho EA=EM,nối A với M
Xét \(\Delta BEA\) và \(\Delta BEM\) có:
BE cạnh chung,EA=EM,\(\widehat{BEA}=\widehat{BEM}\left(=90^0\right)\)
\(\Rightarrow\Delta BEA=\Delta BEM\left(c.g.c\right)\)
\(\Rightarrow BA=BM,EA=EM\)
=>\(\Delta BAM\) cân tại B
\(\Rightarrow\widehat{BAM}=\widehat{BMA}\)
\(\Rightarrow EC-EA=EC-EM=MC=AB=BM\)
\(\Rightarrow\Delta BMC\) cân tại M
\(\Rightarrow\widehat{MBC}=\widehat{MCB}\)
Mà \(\widehat{AMB}=\widehat{MBC}+\widehat{MCB}=\widehat{MAB}=2\widehat{MCB}\Rightarrow\widehat{CAB}=2\widehat{BCA}\)
\(\Rightarrow\widehat{CAB}=60^0,\widehat{BCA}=30^0\)
Vậy ...
B1: Gọi \(M=AI\cap BC\)
Xét AK là trung tuyến \(\Rightarrow AK=KC\)
\(\Rightarrow\Delta AKC\) cân tại K
\(\Rightarrow\widehat{A_1}=\widehat{C}\)(1)
Xét \(\Delta AKE\) vuông tại K có :
\(\widehat{A_1}+\widehat{E_1}=90^o\)(2)
Xét \(\Delta ABC\) vuông tại A có :
\(\widehat{ABC}+\widehat{C}=90^o\)(3)
Từ (1) , (2) và (3) \(\Rightarrow\widehat{ABC}=\widehat{E_1}\)(4)
- Xét \(\Delta ADE\) vuông tại A có :
\(\widehat{D}+\widehat{E_1}=90^o\)(5)
Từ (3) , (4) , (5) \(\Rightarrow\widehat{D}=\widehat{C}\)
- Xét AI là trung tuyến của \(DE\) \(\Rightarrow AI=DI\)
\(\Rightarrow\Delta DIA\) cân tại I
\(\Rightarrow\widehat{D}=\widehat{IAD}\)
mà \(\widehat{C}=\widehat{D}\)
\(\Rightarrow\widehat{IAD}=\widehat{C}\)
Xét \(\Delta ABC\) vuông tại A có :
\(\widehat{ABC}+\widehat{C}=90^o\)
\(\Rightarrow\widehat{ABC}+\widehat{IAD}=90^o\)
\(\Rightarrow\Delta MBA\) vuông tại A
\(\Rightarrow AM\perp BC\)
\(\Rightarrow AI\perp BC\)
b) Ta có : DE\(=2AI\) ( AI là trung tuyến của tam giác vuông ADE )(1)
Ta lại có : BC = 2AK ( AK là trung tuyến của tam giác vuông ABC )(2)
Xét tam giác AKI vuông tại K có : AI > AK ( quan hệ giữa đường xiên hình chiếu )(3)
Từ (1) , (2) và (3) => DE > BC
