Bài 1:
Tam giác ABC cân tại A, 2 đường cao BE và CF cắt nhau tại H. Tia AH cắt BC tại I
a, C/m :I là trung điểm BC
b, Tam giác IEF cân
Bài 2:
Tam giác ABC cân tại A (A > \(^{90^O}\) ) .BK vuông góc AC (K thuộc AC)
CF vuông góc AB (F thuộc AB)
Gọi H là giao điểm của BK và CF
a, C/m : Tam giác ABK = Tam giác ACF
b, Gọi I là giao của AH và BC
C/m AI là trung trực của BC
1/ Ta có hình vẽ:
a/ Xét hai tam giác vuông ABE và ACF có:
A: góc chung
AB = AC (tam giác ABC cân tại A)
=> tam giác ABE = tam giác ACF.
=> AE = AF (hai cạnh tương ứng).
Xét hai tam giác vuông AHE và AHF có:
AH: cạnh chung
AE =AF (cmt).
=> tam giác AHE = tam giác AHF.
=> góc EAH = góc FAH (hai góc t/ư)
Vậy AH là phân giác của góc EAF
hay AH là phân giác của góc BAC.
hay AI là phân giác của góc BAC
Mà ABC là tam giác cân.
=> AI cũng là trung tuyến của tam giác ABC
=> I là trung điểm của BC.
b/ Ta có: AB = AC (t/g ABC cân)
Mà AE = AF (cmt).
=> AB - AF = AC - AE
=> BF = CE.
Xét tam giác BFI và tam giác CEI có:
BF = CE (cmt).
góc ABC = góc ACB (t/g ABC cân).
BI = IC (I là trung điểm BC)
=> tam giác BFI = tam giác CEI.
=> IE = IF.
Vậy tam giác IEF cân tại I.
Ta có hình vẽ:
a/ Xét hai tam giác vuông ABK và ACF có:
AB = AC (t/g ABC cân tại A)
góc BAK = góc CAF (đđ)
=> tam giác ABK = tam giác ACF.
b/ Ta có: tam giác ABK = tam giác ACF.
=> AK = AF.
Xét hai tam giác vuông AKH và AFH có:
AH: cạnh chung
AK = AF (cmt).
=> tam giác AKH = tam giác AFH.
=> góc KAH = góc FAH.
Ta có: góc KAH = góc CAI (đđ)
Ta có: góc FAH = góc BAI (đđ)
Mà ta lại có: góc KAH = góc FAH
=> góc BAI = góc CAI.
=> AI là pg góc BAC.
Mà ABC là tam giác cân tại A
nên AI cũng là đường trung trực của tam giác ABC.
---> đpcm.
