a.\(x^2+y^2+1\ge xy+x+y\)
\(\Leftrightarrow2x^2+2y^2+2\ge2xy+2x+2y\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2-2xy+y^2\right)+\left(y^2-2y+1\right)+\left(y^2-2y+1\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2+\left(y-1\right)^2+\left(y-1\right)^2\ge0\)(LĐ).
Vậy ta có đpcm.
b. \(x^2-x+1=\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}>0\forall x\)
Vậy ta có đpcm.
#Walker
Chứng Minh đẳng thức x2+y2+1\(\ge\)xy+x+y ( với mọi x;y)
a) CMR: \(\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right).\left(x+y+z\right)>=9\) với mọi x, y, z >0
b) Cho các số dương x, y, z thỏa mãn x + y + z <= 3
Chứng minh rằng: \(\frac{1}{x^2+y^2+z^2}+\frac{2009}{xy+yz+zx}>=670\)
Với mọi x,y,z là các số thực bất kì , CMR \(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+xz\)
Bài 1:a) Tìm các cặp số nguyên (x;y) thảo mãn :y2+2xy-3x-2=0
b) Cho x,y thỏa mãn xy≥1.CMR:\(\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2}\) ≥ \(\frac{2}{1+xy}\)
CMR vs mọi n thì :
a, ( n2 + 3n -1 ) ( n + 2 ) - n3 + 5 ⋮ 5
b, ( 6n + 1 ) ( n + 5 ) - ( 3n + 5 ) ( 2n - 1 ) ⋮ 2
c, xn ( x = 1 ) + xn ( y - 1 ) ⋮ 13 ( x,y ∈ N, x + y ⋮ 13 )
d, ( 2x2 + x ) ( 2y2 - y ) - xy ( 4 xy - 1 ) ⋮ 2
e, ( xy - 1 ) ( x2003 + y2003 ) - ( xy + 1 ) ( x2003 - y2003 )
bài 1 .chứng minh rằng:
a,(x-y)(x2+xy+y2)+(x+y)(x2-xy+y2)=2x
b,x2-4x+5>0 với mọi x
Bài 2:cho a+b+c=0.chứng minh rằng :2(a5+b5+c5)=5abc(a2+b2+c2)
với mọi x;y;z . chứng minh rằng x2 + y2 + z2 ≥ xy = yz + zx
Áp dụng BĐT: \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{4}{a+b}\) ( với a, b dương), tìm GTNN của biểu thức: \(M=\dfrac{2}{xy}+\dfrac{3}{x^2+y^2}\) với x, y là 2 số dương và x+y=1
Cho số thực x và y thỏa mãn \(x\ne y;x\ne0;y\ne0\)
CMR: \(\dfrac{1}{\left(x-y\right)^2}+\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}\ge\dfrac{4}{xy}\)
