Lời giải:
Công thức tính đường trung tuyến:
\(AM=\sqrt{\frac{2(AB^2+AC^2)-BC^2}{4}}\)
Chứng minh:
Gọi $H$ là chân đường cao hạ từ $A$ của tam giác $ABC$. Giả sử $H$ nằm giữa $B$ và $M$
Áp dụng định lý Pitago cho các tam giác vuông:
\(AC^2=AH^2+HC^2=(AM^2-HM^2)+HC^2\)
\(=AM^2-HM^2+(HM+MC)^2=AM^2+MC^2+2HM.MC(1)\)
\(AB^2=AH^2+BH^2=(AM^2-HM^2)+(BM-HM)^2\)
\(=AM^2+BM^2-2BM.HM(2)\)
Lấy \((1)+(2)\Rightarrow AC^2+AB^2=2AM^2+BM^2+CM^2+2HM.MC-2BM.HM\)
\(\Leftrightarrow AB^2+AC^2=2AM^2+(\frac{BC}{2})^2+(\frac{BC}{2})^2+2HM.\frac{BC}{2}-2.\frac{BC}{2}.HM\)
\(\Leftrightarrow AB^2+AC^2=2AM^2+\frac{BC^2}{2}\)
\(\Leftrightarrow AM=\sqrt{\frac{2(AB^2+AC^2)-BC^2}{4}}\) (đpcm)
-----------------------------------
Áp dụng công thức trên vào bài toán:
\(AM=\sqrt{\frac{2(3^2+7^2)-8^2}{4}}=\sqrt{13}\) (cm)
