Question

Bài 1: Cho △ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi D, E lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ H xuống Ab, AC.

a) C/m: Tứ giác ADHE là hình chữ nhật.

b) Gọi M là trung điểm của HC. C/m: △DEM vuông.

c) △ABC có thêm điều kiện gì để DE=2.EM.

Bài 2: Cho △ABC vuông tại A (AB<AC). Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng BC qua I vẽ IM vuông góc với AB tại M và IN vuông góc với AC tại N.

a) Tứ giác AMIN là hình gì ? Vì sao ?

b) Gọi D là điểm đối xứng với I qua N. C/m: Tứ giác AICD là hình thoi.

c) Đường thẳng BN cắt DC tại K. C/m: \(\dfrac{DK}{DC}=\dfrac{1}{3}\)

Bài 3: Cho △ABC cân tại A. Qua điểm M nằm trên đường thẳng BC (M≠B,C) kẻ các đường thẳng song song với AB và AC thứ tự cắt AC và AB tại N và P.

a) Gọi I là trung điểm NP. C/m: I cũng là trung điểm của AM.

b) Khi điểm M nằm giữa BC hãy C/m: MN + MP = AB.

c) Xác định điểm M trên đoạn thẳng BC để tứ giác ANMP là hình thoi.

d) Trong các điểm M nằm trên tia đối của tia BC có điểm nào cho tứ giác ANMP là hình thoi không ? Vì sao ?

Answer 1

Bài 1:

C/m:

a)Xét tứ giác ADHE có:

góc BAC = 90^o (gt)

góc HEA = 90^o (vì HE ⊥ AC)

góc HDA = 90^o (vì HD ⊥ AB)

=>ADHE là hình chữ nhật (dhnb).

b)Vì ADHE là hình chữ nhật (theo câu a)

=>AH Ω DE = {O}

=>OH = OE (t/c)

Xét ΔOEH có: OH = OE (cmt)

=>ΔOEH cân tại O (đ/n)

=>góc E1 = góc H1 (t/c) (1)

Vì ΔHEC vuông tại E (vì HE ⊥ AC)

Mà MH = MC (gt)

=>HM = EM = \(\dfrac{1}{2}\) HC (t/c)

Xét ΔMHE có: HM = EM (cmt)

=>ΔMHE cân tại M (đ/n)

=>góc E2 = góc H2 (t/c) (2)

Từ (1) và (2) =>góc H1 + góc H2 = góc E1 + góc E2 hay góc AHC = góc DEM

Mà góc H1 + góc H2 = 90^o (vì AH là đường cao)

=>góc E1 + góc E2 = 90^o

=>góc DEM = 90^o

=>ΔDEM vuông tại E.

c)Ta có: EM = \(\dfrac{1}{2}\) HC (cmt)

=>HC = 2EM

Để DE = 2EH

<=> DE = HC

Mà DE = AH (t/c)

<=> HC = AH

<=> ΔAHC cân tại H

Lại có: ΔAHC cân tại H

<=> ΔAHC vuông cân tại H <=> góc C = 45^o

<=> ΔABC vuông cân tại A.

Answer 2

Bài 2: Cho △ABC vuông tại A (AB<AC). Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng BC qua I vẽ IM vuông góc với AB tại M và IN vuông góc với AC tại N.

a) Tứ giác AMIN là hình gì ? Vì sao ?

b) Gọi D là điểm đối xứng với I qua N. C/m: Tứ giác AICD là hình thoi.

c) Đường thẳng BN cắt DC tại K. C/m: \(\dfrac{DK}{DC}=\dfrac{1}{3}\)

Bài giải:

a) Xét tứ giác AMIN có:

góc INA = 90 độ (vì IN ⊥ AN)

góc IMA = 90 độ (vì IM ⊥ AM)

góc NAM = 90 độ (vì AM ⊥ NA)

=> Tứ giác AMIN là hình chữ nhật (dhnb)

b) Ta có:

AB ⊥ AC (vì góc A = 90 độ)

NI ⊥ AC (gt)

=> AB // NI

Mà IB = IC (gt)

=> NA = NC (định lí 1)

Xét tứ giác AICD có:

AC Ω DI ={N}

Mà NA = NC (cmt)

ND = NI (vì I và D đối xứng với nhau qua N)

=> Tứ giác AICD là hình bình hành

Ta có: I là trung điểm của BC

=> AI là đường trung tuyến của ΔABC

=> AI = \(\dfrac{1}{2}\) BC (t/c)

=> IA = IC

=> Tứ giác AICD là hình thoi (dhnb)

c) Ta có:

IB = IC (vì I là trung điểm của BC) (1)

Lại có:

IA // DC (t/c)

Gọi AI Ω BK ={H}

Mà H ∈ AI, K ∈ DC

=> HI //KC (2)

Từ (1) và (2) => H là trung điểm của BK (định lí)

=> HB = HK

Vì IB = IC (gt)

HB = HK (cmt)

=> HI là đường trung bình ΔBKC (định lí)

=> HI = \(\dfrac{1}{2}\)CK

Xét ΔINH và ΔDNK có:

góc I1 = góc D1 (slt)

IN = ND (cmt)

góc INH = góc DNH (đối đỉnh)

=> ΔINH = ΔDNK (g.c.g)

=> HI = DK (hai cạnh tương ứng)

Mà HI = \(\dfrac{1}{2}\)CK

=> DK = \(\dfrac{1}{2}\)CK

=> DK = 2.DK

Mà DK + CK = DC

=> DK + 2DK = DC

=> 3DK = DC

=> \(\dfrac{DK}{DC}=\dfrac{1}{3}\) (đpcm)

P/s: Bạn tự vẽ hình + tự viết giả thiết, kết luận.