Question

a,b > 0. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức S = \(\left(a+b\right)\left(\frac{1}{a^3+b}+\frac{1}{a+b^3}\right)-\frac{1}{ab}\)

Mọi người giúp em với ạ !

Answer 1

\(\left(a^3+b\right)\left(\frac{1}{a}+b\right)\ge\left(a+b\right)^2\Rightarrow\frac{a+b}{a^3+b}\le\frac{\frac{1}{a}+b}{a+b}\)

Tương tự: \(\frac{a+b}{a+b^3}\le\frac{\frac{1}{b}+a}{a+b}\)

\(\Rightarrow S\le\frac{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+a+b}{a+b}-\frac{1}{ab}=\frac{1}{ab}-\frac{1}{ab}+1=1\)

\(S_{max}=1\) khi \(a=b=1\)

Answer 2

Quy đồng lên$,$ ta cần chứng minh:

Áp dụng BĐT AM-GM: $0 {a}^{4}{b}^{4}-{a}^{4}{b}^{2}+{a}^{3}{b}^{3}-{a}^{2}{b}^{4}+{a}^ {4}-{a}^{3}b-{a}^{2}{b}^{2}-a{b}^{3}+{b}^{4}+ab \geq 0$

${a}^{3}b\leq \frac{1}{2} \,{a}^{4}+\frac{1}{2} \,{a}^{2}{b}^{2},\\a{b}^{3}\leq \frac{1}{2}\,{a}^{ 2}{b}^{2}+\frac{1}{2}\,{b}^{4},\\{a}^{2}{b}^{4}\leq \frac{1}{2}\,{a}^{4}{b}^{4}+\frac{1}{2}\,{b} ^{4},\\2\,{a}^{2}{b}^{2}\leq {a}^{3}{b}^{3}+ab.$

Cộng theo vế các BĐT trên ta thu được điều phải chứng minh.

Answer 3

Thay $0a^4 b^4$ thành $a^4 b^4$ giúp em nha! Đánh dư:(