Question

A thuộc (d):x-2y+1=0

Đường tròn C: (x-2)^2 + (y+1) ^2 = 1

Tiếp tuyến AB và AC với đường tròn (C) với B,C là tiếp điểm sao cho chu vi ABC nhỏ nhất

Tìm A

Câu hỏi đầu tiên của tôi :)

Answer 1

Đặt I là tâm đường tròn (C), khi đó \(I=\left(2;-1\right);R=1\)

Gọi khoảng cách từ I tới A là d, khi đó \(AB=AC=\sqrt{d^2-1}\)

Vậy \(d>1\)

Do tam giác ABI vuông tại B nên \(\dfrac{BC}{2}\) là độ dài đường cao tam giác. Suy ra \(BC=2.\dfrac{AB.BI}{AI}=2.\dfrac{\sqrt{d^2-1}.1}{d}=\dfrac{2\sqrt{d^2-1}}{d}\)

Vậy chu vi tam giác ABC là:

\(AB+AC+BC=2\sqrt{d^2-1}+\dfrac{2\sqrt{d^2-1}}{d}\)

\(\ge2.2\sqrt{\dfrac{d^2-1}{d}}=4\sqrt{d-\dfrac{1}{d}}\)

Vậy AB + BC + CA nhỏ nhất khi d nhỏ nhất hay khoảng cách từ I tới A nhỏ nhất.

Hay A chính là chân đường cao hạ từ I xuống đường thẳng (d)

Ta dễ dàng tìm được A(1;1).

Answer 2

@phynit giúp em với thầy