Violympic toán 9

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Phượng Hoàng

A= \(\left(\dfrac{1}{1-\sqrt{x}}-\dfrac{1}{\sqrt{x}}\right):\left(\dfrac{2x+\sqrt{x}-1}{1-x}+\dfrac{2x\sqrt{x}+x-\sqrt{x}}{1+x\sqrt{x}}\right)\)

a, tìm ĐKXĐ và rút gọn A

b, tính giá trị của A khi x= \(17-12\sqrt{2}\)

c, so sánh A và \(\sqrt{A}\)

Nguyễn Việt Lâm
9 tháng 12 2018 lúc 16:01

ĐKXĐ: \(x>0;x\ne1\)

\(\dfrac{2x+\sqrt{x}-1}{1-x}+\dfrac{2x\sqrt{x}+x-\sqrt{x}}{1+x\sqrt{x}}=\dfrac{x-1+x+\sqrt{x}}{1-x}+\dfrac{x\sqrt{x}-\sqrt{x}+x\sqrt{x}+x}{1+x\sqrt{x}}\)

\(=\dfrac{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)+\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)}{\left(1-\sqrt{x}\right)\left(1+\sqrt{x}\right)}+\dfrac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)+x\left(\sqrt{x}+1\right)}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(x-\sqrt{x}+1\right)}\)

\(=\dfrac{2\sqrt{x}-1}{1-\sqrt{x}}+\dfrac{\left(2\sqrt{x}-1\right)\sqrt{x}}{x-\sqrt{x}+1}=\left(2\sqrt{x}-1\right)\left(\dfrac{1}{1-\sqrt{x}}+\dfrac{\sqrt{x}}{x-\sqrt{x}+1}\right)\)

\(=\dfrac{2\sqrt{x}-1}{\left(1-\sqrt{x}\right)\left(x-\sqrt{x}+1\right)}\)

Vậy \(A=\left(\dfrac{2\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}\left(1-\sqrt{x}\right)}\right):\left(\dfrac{2\sqrt{x}-1}{\left(1-\sqrt{x}\right)\left(x-\sqrt{x}+1\right)}\right)\)

\(A=\dfrac{x-\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}\)

b/ Dễ dàng nhận ra \(A>0\)\(A=\dfrac{x-\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}=\sqrt{x}-1+\dfrac{1}{\sqrt{x}}=\sqrt{17-12\sqrt{2}}-1+\dfrac{1}{\sqrt{17-12\sqrt{2}}}\)

\(A=\sqrt{17-12\sqrt{2}}-1+\sqrt{17+12\sqrt{2}}=\sqrt{\left(3-2\sqrt{2}\right)^2}-1+\sqrt{\left(3+2\sqrt{2}\right)^2}\)

\(\Rightarrow A=3-2\sqrt{2}+3+2\sqrt{2}-1=6-1=5\)

c/ Ta có \(A=\sqrt{x}+\dfrac{1}{\sqrt{x}}-1>2\sqrt{\sqrt{x}.\dfrac{1}{\sqrt{x}}}-1=1\) (dấu "=" không xảy ra)

\(A>0\Rightarrow\sqrt{A}>1\Rightarrow\sqrt{A}-1>0\)

Ta có \(A-\sqrt{A}=\sqrt{A}\left(\sqrt{A}-1\right)>0\) do \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{A}>0\\\sqrt{A}-1>0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow A>\sqrt{A}\) \(\forall x\)


Các câu hỏi tương tự
nguyen ngoc son
Xem chi tiết
Hoàng Ngọc Tuyết Nung
Xem chi tiết
Hoàng Ngọc Tuyết Nung
Xem chi tiết
Phượng Hoàng
Xem chi tiết
Tuyết Linh Linh
Xem chi tiết
Hoàng Minh Ngọc
Xem chi tiết
Nguyễn Đức Lâm
Xem chi tiết
Nguyễn Đức Lâm
Xem chi tiết
Trúc Nguyễn
Xem chi tiết